Fórmula 2cosAsenB

2cosasenb es una de las fórmulas trigonométricas importantes que es igual a sin (a + b) – sin (ab). En matemáticas, la trigonometría es una rama importante que estudia la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, que tiene una amplia gama de aplicaciones en numerosos campos como la astronomía, la arquitectura, la biología marina, la aviación, etc. Existen seis razones trigonométricas. , de las cuales tres razones son los recíprocos de las otras tres razones trigonométricas. Una razón trigonométrica es una razón entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. 

razones trigonométricas

1. sen θ = lado opuesto/hipotenusa = AB/AC
2. cos θ = lado adyacente/hipotenusa = BC/AC
3. tan θ = lado opuesto/lado adyacente = AB/BC
4. cosec θ = 1/sen θ = hipotenusa/lado opuesto = AC/AB
5. sec θ = 1/cos θ = hipotenusa/lado adyacente = AC/BC
6. cot θ = 1/tan θ = lado adyacente/lado opuesto = BC/AB

fórmula 2cosasenb

La fórmula 2cosasinb es una fórmula trigonométrica que se utiliza para simplificar expresiones trigonométricas y también para resolver integrales complejas y derivadas de expresiones trigonométricas. La fórmula 2cosasinb es igual a la diferencia entre la suma de ángulos y la diferencia de ángulos de las funciones seno, es decir, para dos ángulos A y B,
2 cos A sen B = sen (A + B) – sen (A – B).

La fórmula de 2cosasenb es,

2 porque A sen B = sen (A + B) – sen (A – B)

A partir de la fórmula, podemos observar que el doble del producto de una función coseno y una función seno se convierte en la diferencia entre la suma de los ángulos y la diferencia de ángulos de las funciones seno. Con la ayuda de la fórmula 2 cos A sen B, podemos extraer la fórmula de cos A sen B.

cos A sin B = ½ [sin (A + B) – sin (A – B)]

Derivación de 2cosasinb

Podemos derivar la fórmula 2cosasenb con la ayuda de las fórmulas de suma y diferencia de la función seno.

sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B ————— (1)

sen (A – B) = sen A cos B – cos A sen B ————— (2)

Ahora resta la ecuación (2) de la ecuación (1)

⇒ sin (A + B) – sin (A – B) = (sin A cos B + cos A sin B) – (sin A cos B – cos A sin B)

⇒ sen (A + B) – sen (A – B) = sen A cos B + cos A sen B – sen A cos B + cos A sen B

⇒ sen (A + B) – sen (A – B) = cos A sen B + cos A sen B

⇒ sen (A + B) – sen (A – B) = 2 porque A sen B

Por tanto, 2 cos A sen B = sen (A + B) – sen (A – B)

Ejemplos resueltos

Problema 1: Resuelve la integral de 2cos 3x sin (5x/2).

Solución:

Integral de 2cos 3x sen (5x/2) = ∫2 cos 3x sen (5x/2) dx

De la fórmula 2cosasinb tenemos,

2 porque A sen B = sen (A + B) – sen (A – B)

2 cos 3x sen (5x/2) = sen (3x + (5x/2)) – sen (3x – (5x/2))

= sen (11x/2) – sen (x/2)

Ahora, ∫2 cos 3x sen (5x/2)) dx = ∫[sen (11x/2) – sen (x/2)] dx

= ∫sen (11x/2) dx – ∫sen (x/2) dx

= -2/11 cos (11x/2) – (-2 cos (x/2)) {∫sen (ax) = -1/a cos (ax) + c}

= 2[cos (x/2) – 1/11 cos (11x/2)]

Por tanto, la integral de 2 cos 3x sen (5x/2) = 2[cos (x/2) – 1/11 cos (11x/2)]

Problema 2: Exprese 5cos (7x/2) sen 3x en términos de la función seno.

Solución:

De la fórmula 2cosasinb tenemos,

2 porque A sen B = sen (A + B) – sen (A – B)

Ahora, 5 cos (7x/2) sen 3x = 5/2 [2 cos (7x/2) sen 3x]

= 5/2 [sen (7x/2 + 3x) – sin (7x/2 – 3x)]

= 5/2 [sin (13x/2) – sin (x/2)]

Por tanto, 5 cos (7x/2) sen 3x = 5/2 [sen (13x/2) – sen (x/2)].

Problema 3: Encuentra el valor de la expresión 4 cos (27.5°) sen (62.5°) usando la fórmula 2cosasenb.

Solución: 

4 coseno (27,5°) sen (62,5°) = 2 [2 coseno (27,5°) sen (62,5°)]

De la fórmula 2cosasinb tenemos,

2 porque A sen B = sen (A + B) – sen (A – B)

Ahora, 2 [2 cos (27,5°) sin (62,5°)] = 2 [sin (27,5° + 62,5°) – sin (27,5° – 62,5°)]

=2 [sen (90°) – sin (-35°)]

= 2 [sen 90°+ sen 35°] {Puesto que, sen (-θ) = – sen θ}

= 2 [1 + 0,5735] {Ya que, sen 35° = 0,5735, sen 90° = 1}

= 3.147          

Por tanto, 4 coseno (27,5°) sen (62,5°) = 3,147

Problema 4: Encuentra la derivada de 7 cos 4x sen 11x.

Solución:

Derivada de 7 cos 4x sen 11x = d(7 cos 4x sen 11x)/dx

De la fórmula 2cosasinb tenemos,

2 porque A sen B = sen (A + B) – sen (A – B)

Ahora, 7 cos 4x sen 11x = 7/2 [2 cos 4x sen 11x ]

= 7/2 [sen (4x + 11x) – sin (4x – 11x)]

= 5/2 [sin (15x) – sin (-7x)]

= 5/2 [sen (15x) + sen (7x)] {Puesto que, sen (-θ) = – sen θ}

Ahora, d(7 cos 4x sen 11x)/dx = d{5/2 [sen 15x + sen 7x]}/dx

= 5/2{d(sen 15x)/dx + d(sen 7x)/dx}

= 5/2 [15 cos 15x + 7 cos 7x] {Ya que, d(sen ax)/dx = a cos ax}

= 37,5 cos 15x + 17,5 cos 7x

Por tanto, la derivada de 7 cos 4x sen 11x = [37,5 cos 15x + 17,5 cos 7x] .

Problema 5: Expresar 2 cos 14x sin (3x/2) en términos de la función seno.

Solución:

De la fórmula 2cosasinb tenemos,

2 porque A sen B = sen (A + B) – sen (A – B)

Ahora, 2 cos 14x sin (3x/2) = sin (14x + 3x/2) – sin (14x – 3x/2)

= sen [(28x + 3x)/2] – sen [(28x – 3x)/2]

= pecado (31x/2) – pecado (25x/2)

Por lo tanto, 2 cos 14x sin (3x/2) = [sin (31x/2) – sin (25x/2)].

Problema 6: Resuelve 6 sin (52.5 °) sin (127.5 °) usando la fórmula 2cosasenb.

Solución:

6 sen (52,5 °) sen (127,5 °) = 3 [2 sen (52,5 °) sen (127,5 °)]

De la fórmula 2cosasinb tenemos,

2 porque A sen B = sen (A + B) – sen (A – B)

Ahora, 3 [2 sin (52.5°) sin (127.5°)] = 3 [sin (52.5° + 127.5°) – sin (52.5° – 127.5°)]

=2 [pecado (180°) – seno (-75°)]

= 3 [sen 180°+ sen 75°] {Puesto que, sen (-θ) = – sen θ}

= 3 [1 + 0,9659] {Ya que, sen 35° = 0,5735, sen 180° = 0}

= 5.8977       

Por tanto, 6 sen (52,5°) sen (127,5°) = 5,8977.