Fórmula Cosec Cot

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que se aplican a varias funciones trigonométricas y son verdaderas para todos los valores de la variable en el dominio. Estas son las igualdades de la ecuación para todos los valores posibles de las variables. Las razones trigonométricas utilizadas en estas identidades son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Todas estas razones trigonométricas se calculan utilizando los lados de un triángulo rectángulo, como el lado adyacente, el lado opuesto y el lado de la hipotenusa. Solo un triángulo rectángulo puede usar estas identidades trigonométricas.

Fórmula Cosec Cot

La fórmula cosec cot es una identidad trigonométrica pitagórica en trigonometría ya que se basa en el teorema de Pitágoras. Dice que en todos los ángulos, el cuadrado de la cosecante es igual a la suma del cuadrado de la cotangente y la unidad.

cosec ² θ = 1 + cuna ² θ

Derivación

 

Considere un triángulo rectángulo ABC con un ángulo θ entre su base y la hipotenusa.

Aplicando el teorema de Pitágoras en este triángulo, obtenemos

CA ² = AB ² + BC ²            

Dividiendo ambos lados por AB ² , obtenemos

AC ² /AB ² = AB ² /AB ² + BC ² /AB ²

(AC/AB) ² = 1 + (BC/AB) ²    ……. (1)

Sabemos, para el ángulo θ,

cosec θ = hipotenusa/perpendicular

cosec θ = AC/AB ……. (2)

Además, tenemos

cuna θ = Base/Perpendicular

cuna θ = BC/AB ……. (3)

Usando (2) y (3) en (1), obtenemos

cosec ² θ = 1 + cuna ² θ

Esto prueba la fórmula de cosec cot.

Problemas de muestra

Problema 1. Si cot θ = 3/4, encuentre el valor de cosec θ usando la fórmula.

Solución:

Tenemos,

cuna θ = 3/4

Usando la fórmula que tenemos,

cosec ² θ = 1 + cuna ² θ

cosec ² θ = 1 + (3/4) ²

cosec ² θ = 1 + 9/16

cosec ² θ = 25/16

cosec θ = 5/4

Problema 2. Si cot θ = 12/5, encuentre el valor de cosec θ usando la fórmula.

Solución:

Tenemos,

cuna θ = 12/5

Usando la fórmula que tenemos,

cosec ² θ = 1 + cuna ² θ

cosec ² θ = 1 + (12/5) ²

cosec ² θ = 1 + 144/25

cosec ² θ = 169/25

cosec θ = 13/5

Problema 3. Si cos θ = 4/5, encuentre el valor de cosec θ usando la fórmula.

Solución:

Tenemos, cos θ = 4/5.

Claramente sen θ = 3/5. Por lo tanto tenemos, cot θ = 4/3.

Usando la fórmula que tenemos,

cosec ² θ = 1 + cuna ² θ

cosec ² θ = 1 + (4/3) ²

cosec ² θ = 1 + 16/9

cosec ² θ = 25/9

cosec θ = 5/3

Problema 4. Si sen θ = 12/13, encuentre el valor de cosec θ usando la fórmula.

Solución:

Tenemos, sen θ = 12/13.

Claramente cos θ = 5/13. Por lo tanto tenemos, cot θ = 12/5.

Usando la fórmula que tenemos,

cosec ² θ = 1 + cuna ² θ

cosec ² θ = 1 + (12/5) ²

cosec ² θ = 1 + 144/25

cosec ² θ = 169/25

cosec θ = 13/5

Problema 5. Si sen θ = 4/5, encuentre el valor de cot θ usando la fórmula.

Solución:

Tenemos, sen θ = 4/5.

Claramente cosec θ = 5/4.

Usando la fórmula que tenemos,

cosec ² θ = 1 + cuna ² θ

cuna ² θ = (5/4) ² – 1

cuna ² θ = 25/16 – 1

cuna ² θ = 9/16

cuna θ = 3/4

Problema 6. Si sec θ = 17/8, encuentre el valor de cosec θ usando la fórmula.

Solución:

Tenemos, sec θ = 17/8.

Claramente cos θ = 8/17. Por lo tanto tenemos, cot θ = 8/15.

Usando la fórmula que tenemos,

cosec ² θ = 1 + cuna ² θ

cosec ² θ = 1 + (8/15) ²

cosec ² θ = 1 + 64/225

cosec ² θ = 289/225

cosec θ = 17/15

Problema 7. Si tan θ = 12/5, encuentre el valor de cosec θ usando la fórmula.

Solución:

Tenemos, tan θ = 12/5.

Por lo tanto tenemos, cot θ = 5/12.

Usando la fórmula que tenemos,

cosec ² θ = 1 + cuna ² θ

cosec ² θ = 1 + (5/12) ²

cosec ² θ = 1 + 25/144

cosec ² θ = 169/144

cosec θ = 13/12