Fórmula cotangente

La trigonometría es una rama importante de las matemáticas que se ocupa de la relación entre las longitudes de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente son las seis razones o funciones trigonométricas. Donde una razón trigonométrica se representa como la razón entre los lados de un triángulo rectángulo. 

• sen θ = lado opuesto/hipotenusa
• cos θ = lado adyacente/hipotenusa
• tan θ = lado opuesto/lado adyacente
• cosec θ = 1/sen θ = hipotenusa/lado opuesto
• sec θ = 1/cos θ = hipotenusa/lado adyacente
• cot θ = 1/tan θ = lado adyacente/lado opuesto

Fórmula cotangente

Una función cotangente es una función recíproca de la función tangente dada. El valor de un ángulo cotangente en un triángulo rectángulo es la razón de la longitud del lado adyacente al ángulo dado a la longitud del lado opuesto al ángulo dado. Escribimos la función cotangente como “cot”.

Ahora, la fórmula de la cotangente para el ángulo θ es,

cot θ = (Lado adyacente)/(Lado opuesto)

• La función cotangente es positiva en el primer y tercer cuadrante y negativa en el segundo y cuarto cuadrante.

1. cot (2π + θ) = cot θ (1er ^cuadrante )
2. cot (π – θ) = – cot θ (2º ^cuadrante )
3. cot (π + θ) = cot θ (3er ^cuadrante )
4. cot (2π – θ) = – cot θ (cuarto ^cuadrante )

• La función cotangente es una función negativa ya que la cotangente de un ángulo negativo es el negativo de un ángulo cotangente positivo.

cuna (-θ) = – cuna θ

• En términos de la función tangente, la función cotangente se escribe como,

cuna θ = 1/bronceado θ

(o)

cot θ = tan (90° – θ) (o) tan (π/2 – θ)

• La función cotangente en términos de funciones seno y coseno se puede escribir como,

cot θ = cos θ/sen θ

Sabemos que, cot θ = lado adyacente/lado opuesto

Ahora divide tanto el numerador como el denominador con la hipotenusa

⇒ cot θ = (lado adyacente/hipotenusa) / (lado opuesto/hipotenusa)

Sabemos que, sen θ = lado opuesto/hipotenusa

cos θ = lado adyacente/hipotenusa

Por lo tanto, cot θ = cos θ/sen θ

• La función cotangente en términos de la función seno se puede escribir como,

cuna θ = (√1 – sen ² θ)/sen θ 

Sabemos que, cot θ = cos θ/sen θ

De las identidades pitagóricas tenemos;

cos ² θ + sen ² θ = 1

⇒ cos θ = √1 – sen ² θ

Por lo tanto, cot θ = 

• La función cotangente en términos de la función coseno se puede escribir como,

cot θ = cos θ/(√1 -cos ² θ)

Sabemos que, cot θ = cos θ/sen θ

De las identidades pitagóricas tenemos;

cos ² θ + sen ² θ = 1

sen θ = √1 – cos ² θ

Por lo tanto, cot θ = 

• La función cotangente en términos de funciones secante y cosecante se puede escribir como,

cot θ = cosec θ/seg θ

Tenemos, cot θ = cos θ/sen θ

Esto se puede escribir como, cot θ = (1/sen θ) / (1/cos θ)

⇒ cot θ = cosec θ/seg θ

• La función cotangente en términos de la función cosecante se puede escribir como:

cuna θ = √(coseg ² – 1)

De las identidades pitagóricas, tenemos,

cosec ² θ – cot ² θ = 1

⇒ cot ² θ = 1 – cosec ² – 1

Por lo tanto, cot θ = √(cosec ² – 1)

• La función cotangente en términos de la función secante se puede escribir como:

cuna θ = 1/(√sec ² θ – 1)

De las identidades pitagóricas, tenemos,

segundo ² θ – bronceado ² θ = 1

bronceado θ = √seg ² θ – 1

Sabemos que, cot θ = 1/tan θ

Por lo tanto, cot θ = 

Tabla de razones trigonométricas

Ley de la cotangente o ley de las cotangentes

La ley de la cotangente se parece a la ley del seno, pero aquí involucra medios ángulos. La ley de las cotangentes describe la relación entre las longitudes de los lados del triángulo y las cotangentes de las mitades de los tres ángulos. Considere un triángulo ABC, donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo. 

La ley de las cotangentes establece que,

Donde s es el semiperímetro del triángulo ABC y r es su radio interior de la circunferencia inscrita del triángulo.

s = (a + b + c)/2

r =

Problemas de muestra

Problema 1: Encuentra el valor de cot θ si tan θ = 3/4.

Solución:

Dados los datos, tan θ = 3/4

Sabemos que, cot θ = 1/tan θ

⇒ cuna θ = 1/(3/4) = 4/3

Entonces, cuna θ = 4/3

Problema 2: Encuentra el valor de cot α, sen α = 1/3 y cos α = 2√2/3.

Solución:

Dados los datos, sen α = 1/3 y cos α = 2√2/3

Sabemos que, cot α = cos α/sen α

⇒ cuna α = (2√2/3) / (1/3) = 2√2

Por lo tanto, el valor de cot α = 2√2

Problema 3: Un niño parado a 15 m de un árbol mira en un ángulo de 30 grados a la copa del árbol. ¿Cuál es la altura del árbol?

Solución:

Diagrama de los datos dados

Dados los datos, la distancia entre el niño y el pie del árbol = 15 m y θ = 30°

Sea la altura del árbol ‘h’

Tenemos, cot θ = lado adyacente/lado opuesto

⇒ cuna 30° = 15/h

⇒ √3 = 15/h [ya que, cot 30° = √3] 

⇒ h = 15/√3 

⇒h = 5√3m

Por lo tanto, la altura del árbol = 5√3 m

Problema 4: Encuentra el valor de cot x si sec x = 6/5.

Solución:

Datos dados, sec x = 6/5

Tenemos, sec ² x – tan ² x = 1

⇒ (6/5) ² – tan ² x = 1

⇒ 36/25 – tan ² x = 1

⇒ tan ² x = 36/25 – 1

⇒ bronceado ² x = 11/25 

⇒ tan x = √(11/25) = √11/5

Sabemos que, cot x = 1/tan x

⇒ cuna x = 1/(√11/5) = 5/√11

Por lo tanto, cot x = 5/√11

Problema 5: Encuentra el valor de cot θ si cosec θ = 25/24.

Solución:

Dados los datos, cosec θ = 25/24

Sabemos que, cot θ = √(cosec ² – 1)

⇒ cuna θ = √(25/24) ² – 1

⇒ cuna θ =√(625 – 576)/576 = √49/576

⇒ cuna θ = 7/24

Por lo tanto, el valor de cot θ = 7/24

Problema 6: Encuentra el valor de cot β si sen β = 5/13.

Solución:

Dados los datos, sen β = 5/13

Sabemos que, sen ² β + cos ² β = 1

⇒ (5/13) ² + cos ² β = 1

⇒ cos ² β = 1 – (5/13) ² = 1 – 25/169 = 144/169

⇒ cos β = √144/169 = 12/13

cot β = cosβ/sen β

= (12/13) / (5/13)

⇒ cuna β = 12/5

Por lo tanto, el valor de cot β = 12/5

Problema 7: Usando la ley de las cotangentes, encuentre los valores de ∠A, ∠B y ∠C (en grados) si las longitudes de los tres lados del triángulo ABC son a = 4 cm, b= 3 cm y c= 3cm

Solución: 

Dado, a = 4 cm, b = 3 cm y c = 3 cm

Triángulo ABC

De la ley de las cotangentes, 

s = (a + b + c)/2

⇒ s = (3 + 4 + 3)/2 = 10/2 = 5

Ahora, s – a = 5 – 4 = 1

⇒ s – b = 5 – 3 = 2

⇒ s – c = 5 – 3 = 2

r =

⇒r = √[(1)(2)(2)/5]

En el radio del triángulo r = 2/√5

De la ecuación de la ley de las cotangentes,

cuna (A/2)/1 = 1/(2/√5)

⇒ cuna (A/2) = √5/2 ⇒ A/2 = cuna ^-1 (√5/2)

⇒ (A/2) = 41,8° ⇒ ∠A = 83,6°

cuna(B/2)/2 = 1/(2/√5)

⇒ cuna (B/2)/2 = √5/2 ⇒ cuna (B/2) = √5

⇒ (B/2) = cuna ^-1 (√5) = 24,1° ⇒ ∠B = 48,2°

cuna (C/2)/2 = 1/(2/√5)

⇒ cuna(C/2) = √5 ⇒ (C/2) = cuna ^-1 (√5)

⇒ (C/2) = 24,1° ⇒ ∠C = 48,2°

Por lo tanto, los ángulos del triángulo ABC son ∠A = 83,6°, ∠B = 48,2° y ∠C = 48,2°.