La combinación es una forma de seleccionar elementos de una colección de elementos en combinación, no nos fijamos en el orden de selección de elementos, pero nuestra atención principal está en el número total de elementos seleccionados de un conjunto dado de elementos. Por ejemplo, supongamos que tenemos tres números, digamos, a, b y c. Entonces, de cuántas maneras podemos seleccionar dos números se conoce como combinación.
Diferencia entre permutaciones y combinaciones
Cada uno de los arreglos que se pueden hacer a partir de un conjunto dado de cosas, tomando algunas o todas a la vez, se llaman permutaciones. El orden en que se toman los arreglos es importante en una permutación.
Cada uno de los grupos o selecciones (en cualquier orden) que se pueden hacer a partir de un conjunto dado de cosas tomando algunas o todas a la vez se denominan combinaciones. El orden en que se realizan las selecciones no es importante en una Combinación.
Ejemplo: dos letras a y b juntas forman un grupo (combinación), pero se pueden organizar de dos maneras diferentes como ab y ba y, por lo tanto, hay un total de dos arreglos (permutaciones).
Nuevamente, si tomamos tres letras a, b y c, entonces el número de grupos que toman dos letras a la vez es tres, es decir, ab , bc y ca.
Pero cada grupo da lugar a dos arreglos diferentes, por lo que el número total de arreglos = 6, es decir, ab, ba, bc, cb, ca y ac .
Además, si tomamos cuatro letras a, b, c y d, entonces las combinaciones que se pueden hacer tomando dos letras a la vez son seis en números.
ab, ac, anuncio, antes de cristo, bd, discos compactos
Y las permutaciones que se pueden hacer tomando dos letras a la vez son doce en número
ab, licenciado en letras, ac, ca, anuncio, da, antes de cristo, cb, bd, db, discos compactos, corriente continua
Antes de proceder a estudiar permutaciones y combinaciones en detalle, introduciremos una notación n! se lee como n factorial, que es muy útil en el estudio y cálculo de permutaciones y combinaciones.
¿Qué es Factorial?
¡El producto continuo de los primeros n números naturales (es decir, el producto de 1, 2, 3, …, n) se denota con el símbolo n! y se lee como factorial n.
Por ejemplo, 5! = 1.2.3.4.5 = 120
En general, n! = 1.2.3.4…..(n – 1).n
Nota
- ¡Definimos 1! = 1 y 0! = 1
- ¡norte! no está definido cuando n es un número entero negativo o una fracción.
combinaciones
Los diferentes grupos que se pueden formar eligiendo r cosas de un conjunto dado de n cosas diferentes, ignorando su orden de disposición, se llaman combinaciones de n cosas tomadas r a la vez.
El número de todas estas combinaciones se denota por n C r o C(n, r).
Ejemplo: Todas las combinaciones de cuatro objetos diferentes a, b, c, d tomados de dos en dos son ab, ac, ad, bc, bd, cd . Aquí no hemos incluido ba, ca, da, cb, db y dc ya que el orden no altera la combinación. Por lo tanto, hay 6 combinaciones de 4 objetos diferentes tomados de 2 a la vez, es decir, 4 C 2 = 6
De manera similar, todas las combinaciones de cuatro objetos diferentes a, b, c y d tomadas de tres en tres son abc, bcd, cda, dab .
Por lo tanto, hay cuatro combinaciones de 4 objetos diferentes tomados 3 a la vez, es decir, 4 C 3 = 4
¡Correspondientes a cada una de estas combinaciones, tenemos 3! permutaciones, ya que tres objetos en cada combinación se pueden organizar entre sí en 3! maneras. Por lo tanto, el número de permutaciones
= 4 C 3 × 3!
4 P 3 = 4 C 3 × 3!
4!/(4-3)! 3! = 4 C 3
Por lo tanto, podemos concluir que el número total de permutaciones de n cosas diferentes tomadas r a la vez, es decir, n P r es igual a n C r × r.
Por lo tanto, n P r = n C r × r! , 0≤ r ≤n.
Esto implica, n C r = n! ⁄ r! (nr)!
Fórmula de combinación
El número de combinaciones de n cosas diferentes tomadas r a la vez viene dado por
norte C r = norte ! ⁄ r! (nr)! ,0 < r ≤n
dónde,
- n es el tamaño del conjunto a partir del cual se permutan los elementos
- r es el tamaño de cada permutación
- ! es operador factorial
Relación entre fórmula de combinación y fórmula de permutación
La principal diferencia entre combinación y permutación es que en la permutación también consideramos el orden de selección de las cosas, pero en la combinación el orden de selección no importa. Y por lo tanto, las permutaciones siempre son mayores que la combinación.
Teorema: n P r = n C r × r!
Prueba:
Considere RHS, n C r × r! =[ n!/ r!(nr)!]r!
=n!/(nr)! = norte P r
Por lo tanto, se verifica el teorema.
Observaciones:
- Tenemos n C r = n!/r!(nr)! En particular, si r = n, entonces n C n = n! /¡norte! = 1
- n C 0 = n! /0! (n-0)! = n!/0!n! = 1/0! = 1. Por tanto, la fórmula n C r = n!/r!(nr)! es aplicable para r = 0 también. Por lo tanto, n C r = n!/r!(nr)! , 0 ≤ r ≤ norte
- norte C r = norte ! /r!(nr)! = n(n-1)(n-2)……..(n-r+-1)(nr)(nr-1)…….3.2.1 / r! [(nr)(nr-1)…..3.2.1]. Por lo tanto, n C r = n(n-1)(n-2)…….r factores/ r!
- n C n-r = n!/ (nr)![n-(nr)]! = n!/ (nr)! r! = n C r. Por lo tanto, n C r = n C n-r es decir, seleccionar r objetos es lo mismo que rechazar (nr) objetos
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: ¡Evalúa 4! – 3!
Solución:
4! – 3! = (4 × 3 × 2 × 1) – (3 × 2 × 1)
= 24 – 6
=18
Pregunta 2: De una clase de 30 estudiantes, se elegirán 4 para la competencia. ¿De cuántas maneras se pueden elegir?
Solución:
Estudiantes totales = n = 30
Número de alumnos a elegir = r = 4
Por lo tanto, el número total de formas en que se pueden elegir 4 estudiantes de 30 es,
30 C 4 = (30 × 29 × 28)/ (4 × 3 × 2 × 1)
= 24360/ 24
= 1015 maneras
Pregunta 3: Nitin tiene 5 amigos. ¿De cuántas maneras puede invitar a uno o más de ellos a su fiesta?
Solución:
Nitin puede invitar (i) uno de ellos (ii) dos de ellos (iii) tres de ellos (iv) cuatro de ellos (v) todos ellos
y esto se puede hacer en 5 C 1 , 5 C 2 , 5 C 3 , 5 C 4 , 5 C 5 maneras
Por lo tanto, el número total de formas = 5 C 1 + 5 C 2 + 5 C 3 + 5 C 4 + 5 C 5
= 5!/ (1! 4!) + 5!/ (2! 3!) + 5!/ (4! 1!) + 5!/ (5! 0!)
= 5 + 10 + 10 + 5 +1
= 31 maneras
Pregunta 4: Encuentra el número de diagonales que se pueden dibujar uniendo los puntos angulares de un octágono.
Solución:
Una diagonal se forma uniendo dos puntos angulares cualesquiera.
Hay 8 vértices o puntos angulares en un octágono.
Por lo tanto, Número de líneas rectas formadas = 8 C 2 = 8!/ (2! 6!)
= 8 × 7 / (2 × 1)= 56/ 2
= 28
que también incluye los 8 lados del octágono
Por lo tanto, Número de diagonales = 28 – lados del octágono
= 28 – 8
= 20 diagonales
Pregunta 5: Encuentra el número de formas de seleccionar 9 bolas de 6 bolas rojas, 5 bolas blancas y 7 bolas azules, si cada selección consta de 3 bolas de cada color.
Solución:
Número de bolas rojas = 6
Número de bolas blancas = 5
Número de bolas azules = 7
Número total de bolas a seleccionar = 9
Por lo tanto, el número requerido de formas de seleccionar 9 bolas de 6 bolas rojas, 5 blancas, 7 azules que consisten en 3 bolas de cada color
= 6 C 3 × 5 C 3 × 7 C 3
= 6!/ (3! 3!) × 5!/ (3! 2!) × 7!/ (3! 4!)
= 20 × 10 × 35
= 7000 maneras
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anurekha1500 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA