Fórmula de diferencia de cuadrados

El álgebra es una disciplina de las matemáticas que se ocupa del estudio, la manipulación y el análisis de una amplia gama de símbolos matemáticos. Es el estudio de cantidades desconocidas, que se describen con frecuencia en matemáticas usando variables. Con el propósito de examinar situaciones que involucran variables, el álgebra contiene una variedad de fórmulas e identidades. También tiene subramas que incluyen álgebra lineal, álgebra avanzada y álgebra conmutativa, entre otras.

Identidades algebraicas

Las identidades algebraicas son ecuaciones en las que el valor del lado izquierdo de la ecuación es el mismo que el valor del lado derecho. Las identidades algebraicas, a diferencia de las expresiones algebraicas, satisfacen todos los valores de las variables. Aunque hay una gran cantidad de identidades algebraicas, la diferencia de cuadrados ocupa un lugar destacado en el álgebra. Esta identidad se analiza a continuación.

Fórmula de diferencia de cuadrados

Un cuadrado se crea cuando un número o entero (no una fracción) se multiplica por sí mismo. Como sugiere el nombre, la fórmula involucra la diferencia (o cambio) de los cuadrados de dos variables algebraicas. Por ejemplo, hay dos variables, a y b. Entonces la diferencia de sus cuadrados sería, a ² – b ² .

En matemáticas, la expresión a ² – b ² se escribe como,

a ² – b ² = (a+b) (a–b)

Básicamente, la fórmula de la diferencia de cuadrados dice que para dos variables algebraicas a y b, la expresión a ² – b ² es igual al producto de la suma y la diferencia de las variables. Esta identidad se usa ampliamente para simplificar expresiones algebraicas complicadas. La factorización de enteros, la criba cuadrática, la factorización algebraica son las diversas aplicaciones de esta identidad.

Derivación de la fórmula

Esta identidad se puede demostrar multiplicando las expresiones del lado derecho y obteniendo igual a la expresión del lado izquierdo. Aquí está la prueba de esta identidad.

(a+b) (a–b) = a (a–b) + b (a–b)

=a ² – ab + ba – b ²

=a ² – ab + ab – b ²

=a ² – b ²

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1. Simplifica x ² – 16 .

Solución:

Exprese los números a ambos lados del signo menos como cuadrados.

x ² – 16 = x ² – 4 ²

Usa la identidad a ² – b ² = (a+b) (a–b), donde a = x y b = 4.

= (x + 4) (x – 4)

Pregunta 2. Simplifica 9y ² – 144.

Solución:

Exprese los números a ambos lados del signo menos como cuadrados.

9y ² – 144 = (3y) ² – (12) ²

Usa la identidad a ² – b ² = (a+b) (a–b), donde a = 3y y b = 12.

= (3y + 12) (3y – 12)

Pregunta 3. Simplifica (3x + 2) ² – (3x – 2) ² .

Solución:

Usa la identidad a ² – b ² = (a+b) (a–b), donde a = 3x + 2 y b = 3x – 2.

(3x + 2) ² – (3x – 2) ² = (3x + 2 + 3x – 2) (3x + 2 – (3x – 2))

=6x (3x + 2 – 3x + 2)

= 6x (4)

= 24x

Pregunta 4. Simplifica y ² – 100.

Solución:

Exprese los números a ambos lados del signo menos como cuadrados.

y ² – 100 = y ² – (10) ²

Usa la identidad a ² – b ² = (a+b) (a–b), donde a = y y b = 10.

= (y + 10) (y – 10)

Pregunta 5. Evalúa (x + 6) (x – 6).

Solución:

Usa la identidad (a+b) (a–b) = a ² – b ² , donde a = x y b = 6.

(x + 6) (x – 6) = x ² – 6 ²

= x ² – 36

Pregunta 6. Evalúa (y + 13) (y – 13).

Solución:

Usa la identidad (a+b) (a–b) = a ² – b ² , donde a = y y b = 13.

(y + 13) (y – 13) = y ² – (13) ²

= y ² – 169

Pregunta 7. Evalúa (x + y + z) (x + y – z).

Solución:

Usa la identidad (a+b) (a–b) = a ² – b ² , donde a = x + y y b = z.

(x + y + z) (x + y – z) = (x + y) ² – z ²

= x2 + ^{y2 +} 2xy – ^z2