Fórmula de diferencia de cubos

El álgebra es una rama de las matemáticas que estudia, manipula y analiza una amplia variedad de símbolos matemáticos. Es el estudio de cantidades desconocidas que generalmente se describen usando variables en matemáticas. Álgebra contiene una variedad de fórmulas e identidades para evaluar situaciones que involucran variables. El álgebra lineal, el álgebra avanzada y el álgebra conmutativa son solo algunas de las subramas.

identidades algebraicas

Las identidades algebraicas son ecuaciones en las que el valor del lado izquierdo es igual al valor del lado derecho. A diferencia de las expresiones algebraicas, las identidades algebraicas satisfacen todos los valores de las variables. A pesar de que existen numerosas identidades algebraicas, la diferencia de cubos ocupa un lugar destacado en el álgebra.

Fórmula de diferencia de cubos

Un cubo se crea cuando un número o entero (no una fracción) se multiplica por sí mismo dos veces. Como sugiere el nombre, la fórmula involucra la diferencia (o cambio) de cubos de dos variables algebraicas. Por ejemplo, hay dos variables, a y b. Entonces la diferencia de sus cubos sería, a ³ – b ³ .

En matemáticas, la expresión a ³ – b ³ se escribe como,

a ³ – b ³ = (a – b) (a ² + ab + b ² )

Es una identidad algebraica que se utiliza para encontrar la diferencia entre dos cubos de números enteros sin tener que calcular los cubos. Para factorizar binomios de cubos se utiliza la fórmula de la diferencia de cubos.

Derivación de la fórmula

Esta identidad se puede probar multiplicando las expresiones del lado derecho y obteniendo igual a la expresión del lado izquierdo. Aquí está la prueba de esta identidad.

(a – b) (a ² + ab + b ² ) = a (a ² + ab + b ² ) – b (a ² + ab + b ² )

= a ³ + a ² b + ab ² – a ² b – ab ² – b ³

= un ³ – b ³

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1. Evalúa 12 ³ – 8 ³ .

Solución:

Usa la identidad a ³ – b ³ = (a – b) (a ² + ab + b ² ), donde a = 12 y b = 8.

12 ³ – 8 ³ = (12 – 8) (12 ² + (12)(8) + 8 ² )

= 4 (144 + 96 + 64)

= 4 (304)

=1216

Pregunta 2. Evalúa 15 ³ – 10 ³ .

Solución:

Usa la identidad a ³ – b ³ = (a – b) (a ² + ab + b ² ), donde a = 15 y b = 10.

15 ³ – 10 ³ = (15 – 10) (15 ² + (15)(10) + 10 ² )

= 5 (225 + 150 + 100)

= 5 (475)

= 2375

Pregunta 3. Evalúa 19 ³ – 9 ³ .

Solución:

Usa la identidad a ³ – b ³ = (a – b) (a ² + ab + b ² ), donde a = 19 y b = 9.

19 ³ – 9 ³ = (19 – 9) (19 ² + (19)(9) + 9 ² )

= 10 (361 + 171 + 81)

= 5 (613)

= 3065

Pregunta 4. Evalúa 25 ³ – 12 ³ .

Solución:

Usa la identidad a ³ – b ³ = (a – b) (a ² + ab + b ² ), donde a = 25 y b = 12.

25 ³ – 12 ³ = (25 – 12) (25 ² + (25)(12) + 12 ² )

= 13 (625 + 300 + 144)

= 13 (1069)

= 13897

Pregunta 5. Factoriza x ³ – 343.

Solución:

Exprese los números a ambos lados del signo menos como cubos.

x ³ – 343 = x ³ – 7 ³

Usa la identidad a ³ – b ³ = (a – b) (a ² + ab + b ² ), donde a = x y b = 7.

= (x – 7) (x ² + (x)(7) + 7 ² )

= (x – 7) (x2 ⁺ 7x + 49)

Pregunta 6. Factoriza y ³ – 125.

Solución:

Exprese los números a ambos lados del signo menos como cubos.

y ³ – 125 = y ³ – 5 ³

Usa la identidad a ³ – b ³ = (a – b) (a ² + ab + b ² ), donde a = y y b = 5.

= (y – 5) (y ² + (y)(5) + 5 ² )

= (y – 5) (y ² + 5y + 25)

Pregunta 7. Factoriza x ⁹ – 512.

Solución:

Exprese los números a ambos lados del signo menos como cubos.

x ⁹ – 512 = (x ³ ) ³ – 8 ³

Usa la identidad a ³ – b ³ = (a – b) (a ² + ab + b ² ), donde a = x ³ y b = 8.

= (x ³ – 8) ((x ³ ) ² + (x ³ )(8) + 8 ² )

= (x ³ – 2 ³ ) (x ⁶ + 8x ³ + 64)

Nuevamente usa la identidad a ³ – b ³ = (a – b) (a ² + ab + b ² ), donde a = x y b = 2.

= (x – 2) (x ² + (x)(2) + 2 ² ) (x ⁶ + 8x ³ + 64)

= (x – 2) (x ² + 2x + 4) (x ⁶ + 8x ³ + 64)