Fórmula de diferenciación e integración

Tanto la diferenciación como la integración juegan un papel importante en las matemáticas y la física. Sin diferenciación e integración, no podemos asumir las matemáticas y la física. Ambos se utilizan para encontrar la tasa de cambio en la función y las cosas. La diferenciación es una tasa de cambio instantánea y la integración es una tasa de cambio promedio de una función. Ambos son inversos el uno del otro. La diferenciación y la integración son parte del cálculo. Hay un hecho divertido que aún no sabemos cómo desarrolló el cálculo primero por Issac Newton o Wilhelm Leibniz.

Diferenciación

La diferenciación es un método para encontrar la tasa instantánea de cambio de una función o curva. Matemáticamente, la Pendiente de la tangente en un punto de la curva se llama Derivada de la curva o función. La diferenciación es un método para calcular la tasa a la que cambia una variable dependiente y con respecto al cambio en la variable independiente x. Esta tasa de cambio se llama la derivada de y con respecto a x. El concepto de Diferenciación también se usa en física para derivar cualquier expresión o resolver un problema numérico. Lo opuesto a la diferenciación se llama anti-diferenciación o Integración.

Cómo diferenciar una función

Procedimiento

Consideremos una función f(x),

f(x) = ^x2

Ahora diferenciando ambos lados,

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2)$

En la diferenciación en primer lugar,

Tenemos que poner la potencia de función como numerador delante de función y reducir la potencia en 1 de función.

f'(x) = 2x ⇢ (1)

Este suele ser un paso para diferenciar la función.

Derivada estándar de una función

Derivada de la función algebraica

Regla del Cociente: En qué situación función o curva en fracción entonces, usamos la regla del Cociente para clasificar.

$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v} ) = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$

Derivada de la Función Exponencial

Derivada de la función logarítmica

Derivada de la función trigonométrica

integracion

La integración es un método para encontrar la tasa de cambio promedio de una función. La integración es un método para encontrar integrales. La integral es en realidad la antiderivada de la función diferenciadora. Tanto la diferenciación como la integración son inversas entre sí. En palabras más simples, la integración es una forma de combinar todos los pequeños componentes del sistema. Un sistema se refiere a un área que está reservada para cualquier tipo de observación o tarea. Podemos integrar la función de dos maneras, una es indefinida y la otra es definida. En integración indefinida, obtenemos una constante C con nuestra expresión, pero en definitiva podemos encontrar el valor de esa constante C, restringiendo su rango o límite.

Cómo integrar la función

Para explicar, consideramos el resultado anterior, es decir (1) – derivada de la función f(x)

f'(x) = 2x

Integrando ambos lados,

∫f'(x) = ∫2x

Aquí,

Tenemos que aumentar la potencia de la derivada en 1 y también dividir la función con la potencia de la función actualizada,

Después de eso, agregue una constante integral con él.

La entera se llama antiderivada.

$f(x) = 2 \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$

Función de integración estándar

Integración de funciones algebraicas

Integración de funciones exponenciales

Integración de la función trigonométrica

Área bajo la curva

En nuestras clases de primaria, hemos aprendido ciertas fórmulas de formas geométricas, es decir, cuadrados, triángulos, rectángulos, círculos, cilindros y muchas más, y usamos esas fórmulas para calcular el área de estas diversas formas. Pero no existen tales fórmulas para calcular el área bajo la curva o encerrada por la curva. pero usando el concepto de cálculo integral podemos encontrar el área bajo la curva o el área entre dos líneas y también el área de un triángulo, cuadrado u otras formas usando integrales definidas.

Problemas de muestra

Problema 1: Diferenciar $y= \frac{1}{3x+1}$ con respecto a x.

Solución:

Dejar $y = \frac{1}{3x+1}$

Diferenciar la y con respecto a la x.

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3x+1})$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{(3x+1)^2}$

Problema 2: Diferencia lo siguiente: i) x ³ ii) $\frac{1}{x^3+1}$

Solución:

i) Sea y = x ³

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3)$

$\frac{dy}{dx} = 3x^2$

ii) Dejar $y = \frac{1}{x^3+1}$

Usando la regla del cociente,

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2}{(x^3+1)^2}$

Problema 3: Hallar la derivada de $y = \frac{e^x-e^{-x}}{e^{-x}+e^x}$ Con respecto a x.

Solución:

Dejar $y = \frac{e^x-e^{-x}}{e^{-x}+e^x}$

$\frac{dy}{dx} =\frac{(e^{-x}+e^x)(e^x+e^{-x}) - (e^{-x}+e^x)(e^x+ e^{-x})}{(e^{-x}+e^x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{-2x}+e^{2x} -e^{-2x}-e^{2x}}{(e^{-x}+e^x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = 0$

Problema 4: Diferenciar con respecto a x.

Solución:

$y = \frac{e^x-e^{-x}}{e^{-x}+e^x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(1)(logx)- \frac{x}{x}}{(logx)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{logx-1}{(logx)^2}$

Problema 5: Deriva y = Sec ² x con respecto a x.

Solución:

Sea y = segundo ² x

$\frac{dy}{dx} = 2secx(secx tanx)$

$\frac{dy}{dx}$ = seg ² xtanx

Problema 6: Diferenciar sec ² x + cos2x.

Solución:

y = seg ² x + cos2x

$\frac{dy}{dx} = 2sinx cosx + (-2sin2x)$

$\frac{dy}{dx} = 2sinx cosx -2sin2x$

Problema 7: Integrar √x con respecto a x.

Solución:

y = ∫√x dx

$y = ∫x^{\frac{1}{2}}$ dx

$y = \frac{ x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + c$

$y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + c$

Problema 8: Integre lo siguiente: i) e ^2x ii) e ^ax

Solución:

i) y=∫e ^2x

$y = \frac{e^{2x}}{2} + c$

ii) y=∫e ^hacha

$y = \frac{e^{ax}}{a} + c$

Problema 9: integra Sin ² x+ Cos ² x.

Solución:

y = ∫sen ² x + cos ² x

y = ∫dx

y = x + c

Problema 10: entero sen2x + cos2x.

Solución:

y = ∫sen2x + cos2x

y = ∫sen2x + ∫cos2x

$y = \frac{-cos2x}{2}+ \frac{sin2x}{2}+ c$

$y = \frac{1}{2}(sin2x -cos2x) + c$

Problema 11: Hallar el área delimitada por la curva y = Sinx entre x= 0 y x = 2π.

Solución:

Lety = Sinx

La gráfica de y = senx es como,

Área requerida = Área de OABO + Área de BCDB

$= \int_{0}^{π}|sinx|dx + \int_{π}^{2π}|sinx|dx$

$= \int_{0}^{π}sinx dx + \int_{π}^{2π}-sinxdx$

$= \left[ -cosx \right]_{0}^{π} + \left[ cosx \right]_{π}^{2π}$

= -cosπ + cos0 + cos2π- cosπ

= 4 unidades cuadradas.

Problema 12: El área delimitada por la región de la curva y ² = x y las rectas x = 1, x= 4, y el eje x es:

Solución:

Sea y ² = región de la curva xa limitada por las líneas x = 1 y x = 4 sobre el eje x.

Área requerida (área sombreada) = $\int_{1}^{4}|y|dx$

$= \int_{1}^{4}\sqrt{x}dx$

$= \left[\frac{ x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]$

$= \frac{2}{3}\left[ {4}^{\frac{3}{2}} - 1 \right]$

$= \frac{14}{3} sq. units.$

Problema 13: El área del área de la región, integre x con y y tome y = 2 como límite inferior e y = 4 como límite superior. La curva dada x^2 = 4y es una parábola, que es simétrica con respecto al eje y.

Solución:

La curva dada es una parábola x ² = 4y que es simétrica al eje y.

El área delimitada por la curva es la parte sombreada del gráfico.

Área requerida = $\int_{2}^{4}|x|dy$

$= \int_{2}^{4}2\sqrt{y}dy$

$= 2\left[\frac{y^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{2}^{4}$

$= \frac{8}{3}\left[ 4 -\sqrt{2} \right] sq. units.$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por uditsharma333jj y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

S no.	y = f(x)	dy/dx
1	$\frac{d}{dx}(x^n)$	$nx^{n-1}$
2	$\frac{d}{dx} (\frac{1}{x})$	$-\frac{1}{x^2}$
3	$\frac{d}{dx} (√x)$	$\frac{1}{2√x}$

S. no.	y = f(x)	dy/dx
1	$\frac{d}{dx} (e^x)$	e ^x
2	$\frac{d}{dx} (a^x)$	a ^x log _ea _

S no.	y = fijo)	dy/dx
1	$\frac{d}{dx} ( log_ex)$	1/x
2	$\frac{d}{dx} ( log_ax)$	$\frac{1}{x log_ea}$

S. no.	y = f(x)	Derivado
1	$\frac{d}{dx} (sin x)$	porque x
2	$\frac{d}{dx}( cos x)$	-pecado x
3	$\frac{d}{dx} ( tan x)$	segundo ² veces
4	\frac{d}{dx} (cot x)	-coseg ² x
5	$\frac{d}{dx} (sec x)$	segundo x bronceado x
6	$\frac{d}{dx} (cosec x)$	-cosecx cox

S no.	∫f'(x)	f(x)
1	$∫x^ndx$	$\frac{x^n+1 }{n+1} + C$
2	$∫\frac{1}{x}dx$	logaritmo _e x + C

S no.	∫f'(x)	f(x)
1	∫e ^x dx	e ^x + C
2	$∫a^x log_ea dx$	$log_ea \frac{a^x}{log_ea} + C = a^x + C$

S no.	∫f'(x)	f(x)
1	∫ cos x dx	sen x + C
2	∫sen x dx	-cosx + C
3	$∫sec^2 x dx$	bronceado x + C
4	∫ cuna x dx	log\|sen x \| + C
5	∫ seg x dx	log\|seg x + tanx \| +C
6	∫ bronceado x dx	-log(cosx) + C
7	∫coseg x dx	log\|cosec x – cuna x \| + C

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Área bajo la curva

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