Fórmula de distribución de Poisson

La probabilidad es uno de los fundamentos de las matemáticas. La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa la probabilidad de que ocurra un número dado de eventos en un intervalo fijo de tiempo. Ayuda a predecir la probabilidad de que sucedan ciertos eventos cuando sabe con qué frecuencia ha ocurrido el evento. La fórmula de distribución de Poisson es fácil y con la ayuda de esta fórmula, las preguntas se pueden resolver muy fácilmente.  

Distribución de veneno

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad que se utiliza para mostrar cuántas veces ocurre un evento durante un período específico. Es la distribución de probabilidad discreta del número de eventos que ocurren en un período de tiempo dado, dado el número promedio de veces que ocurre el evento durante ese período de tiempo. Es la distribución relacionada con las probabilidades de eventos que son extremadamente raros pero tienen una gran cantidad de oportunidades independientes de ocurrencia.  ¿Por qué necesitamos distribución de veneno?  En distribución tenemos el valor de n y p (que se requiere para la distribución) significa oportunidades independientes y probabilidad de eventos. pero si n es grande o tiende a ∞ y p es tan pequeño o tiende a 0. Entonces es muy engorroso saber la distribución de probabilidad por cualquier otro método o por distribución binomial. Entonces, necesitamos usar la distribución de Poisson. En realidad, la distribución de Poisson es un caso límite de distribución binomial. 

Fórmula de distribución de Poisson 

Sea X una variable aleatoria discreta que puede asumir valores 0,1,2… entonces, la función de probabilidad de X viene dada por la distribución de Poisson.

                                                                           

donde, λ es constante positiva 0

Derivación 

This distribution can be derived as the limiting case of binomial distribution by making n very large 
and p very small, keeping np (=λ) where λ has a finite value. 
The probability of x successes in a binomial distribution is:
P(x) =         Where p is the probability of success, q is the probability of failure, n is the number of trails.      let us assume  n ⇢ ∞ , p ⇢ 0 , np = λ ;     From binomial distribution ,    P(x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}         P(x) = \frac{n!}{(n-x)! x!} pxqn-x     ; we knows  p + q = 1   So, P(x) =    P(x) = \frac{n!}{(n-x)! x!} px (1- p)n-x   P(x) =\frac{ n(n-1)(n-2) ---------(n-x+1) (n-x)! px (1- p)n-x }{(n-x)! x!}  ..............(1) we assume np = λ , So. p = \frac{λ}{n}now  eq (1) become P(x) =\frac{ n(n-1)(n-2) ---------(n-x+1)}{x!} (\frac{λ}{n})x(1-\frac{λ}{n})n-x  P(x) = \frac{\frac{λx}{x!}(\frac{n}{n}(\frac{n-1}{n}+ -------+(\frac{n-x+1}{n})(1-\frac{λ}{n})n}{1-(\frac{λ}{n})x}  As n⇢∞, (1-\frac{r}{n})  here, r ∈ Natural no.All this types of terms tends to 1so, lim n⇢ ∞ \frac{λx}{x!}(1-\frac{λ}{n})n Do you this property of limits, lim x⇢ ±∞ (1+\frac{1}{x})x = e    so. we can say, P(x) =     (Hence derived)

Gráfico de distribución de Poisson 

Propiedades de distribución de Poisson 

• La distribución de Poisson tiene un solo parámetro “λ”
• λ = np
• Media = λ, Varianza = λ, Desviación estándar = √λ.
• Asimetría = 1/λ
• Curtosis = 3 + 1/λ
• La distribución de Poisson es positivamente sesgada y leptocúrtica.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Si el 4% del total de artículos fabricados por una fábrica son defectuosos. Encuentre la probabilidad de que menos de 2 artículos sean defectuosos en la muestra de 50 artículos.

Solución:  

Aquí tenemos, n = 50, p = (4/100) = 0,04, q = (1-p) = 0,96, λ = 2

Usando la distribución de Poisson,

P(X = 0) =   = 1/e ² = 0,13534

P(X = 1) =   = 2/e ² = 0,27068

Por lo tanto, la probabilidad de que menos de 2 artículos sean defectuosos en una muestra de 50 artículos está dada por:

P( X > 2 ) = P( X = 0 ) + P( X = 1 ) = 0,13534 + 0,27068 = 0,40602

Pregunta 2: Si la probabilidad de una mala reacción a la medicina es 0.002, determine la posibilidad de que de 1000 personas más de 3 sufran una mala reacción a la medicina.

Solución:

Aquí tenemos, n = 1000, p = 0,002, λ = np = 2

X = Número de personas que sufren una mala reacción 

Uso de la distribución de Poisson

P(X > 3) = 1 – {P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)} 

P(X = 0) =   = 1/e ²

P(X = 1) =   = 2/e ² 

P(X = 2) =   = 2/e ²

P(X = 3) =    = 4/3e ²

P(X > 3) = 1 – [19/3e ² ] = 1 – 0,85712 = 0,1428

Pregunta 3: Si el 1% del total de tornillos fabricados por una fábrica son defectuosos. Encuentre la probabilidad de que menos de 3 tornillos estén defectuosos en una muestra de 100 tornillos.

Solución:

Aquí tenemos, n = 100, p = 0.01, λ = np = 1

X = Número de tornillos defectuosos

Uso de la distribución de Poisson

P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) 

P(X = 0) =   = 1/e

P(X = 1) =   =1/e

P(X = 2) =   =1/2e

P(X < 3) = 1/e + 1/e +1/2e

= 2,5/e = 0,919698

Pregunta 4: Si en una industria existe la posibilidad de que el 5% de los empleados sufran por corona. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 20 empleados, más de 3 empleados sufran de la corona?

Solución: 

Aquí tenemos, n = 20, p = 0,05, λ = np = 1

X = Número de empleados que sufrirán corona

Uso de la distribución de Poisson

P(X > 3) = 1-[P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)]

P(X = 0) =   = 1/e

P(X = 1) =   = 1/e

P(X = 2) =  =1/2e

P(X = 3) =  =1/6e

P(X > 3) = 1 – [1/e + 1/e + 1/2e + 1/6e]

= 1 – [8/3e] = 0,018988

Pregunta 5: Un fabricante sabe que la bombilla que fabrica consiste en un 2% de bombillas defectuosas. Si fabrica 200 bombillas, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 4 bombillas estén defectuosas?

Solución:

Aquí tenemos, n = 200, p = 0,02, λ = np = 4

X = Número de bombillas defectuosas

Uso de la distribución de Poisson

P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) 

P(X = 0) =   = 1/e ⁴

P(X = 1) =  = 4/e ⁴

P(X = 2) =   = 8/e ⁴

P(X = 3) =  = 32/3e ⁴

P(X < 4)= 1/e ⁴ + 4/e ⁴ + 8/e ⁴ + 32/3e ⁴ = 71/3e ⁴

= 0.43347

Pregunta 6: En una universidad, la probabilidad de que un miembro del personal esté ausente en cualquier día es 0.001. Si hay 800 miembros del personal, calcule las probabilidades de que el número de ausentes en cualquier día sea 4. 

Solución: 

Aquí tenemos, n = 200, p = 0,02, λ = np = 4

X = Número de miembros del personal ausentes en cualquier día

Uso de la distribución de Poisson     

P(X = 4) =  

= 0.00767