El álgebra y las series son temas importantes de las matemáticas. La expansión binomial es una expansión de la expresión binomial (expresión algebraica de dos términos). Requiere conocimientos previos de combinaciones, inducción matemática. Esta expansión da la fórmula para las potencias de la expresión binomial. La fórmula de expansión binomial encuentra la expansión de potencias de expresión binomial muy fácilmente.
Expansión Binomial
A la expresión algebraica que contiene dos términos se le llama expresión binomial. Ejemplo: (x + y), (2x – 3y), (x + (3/x)). La forma general de la expresión binomial es (x + a) y la expansión de (x + a) n , n ∈ N se llama expansión binomial. La expansión binomial proporciona la expansión de las potencias de la expresión binomial.
Fórmula de expansión binomial
Si x y a son números reales, para todo n ∈ N,
(x + a) norte = norte C 0 x norte un 0 + norte C 1 x n-1 un 1 + norte C 2 x n-2 un 2 + ………+ norte C r x n-r un r + ……. + n C n-1 x 1 a n-1 + n C n x 0 a n
(x + a) norte = norte C r X norte a r
Prueba:
Prueba de expansión binomial utilizando el principio de inducción matemática sobre n.
Sea X(n) : (x + a) n = n C 0 x n a 0 + n C 1 x n-1 a 1 + n C 2 x n-2 a 2 + ………+ n C r x n-r a r + …….. + n C n-1 x 1 a n-1 + n C n x 0 a n
Paso I:-
Para probar: X(1) : (x + a) 1 = 1 C 0 x 1 a 0 + 1 C 1 x 0 a 1
Sabemos que : (x + a) 1 = x + a = 1 C 0 x 1 a 0 + 1 C 1 x 0 a 1
por lo tanto, X(1) es verdadero.
Paso II: Sea X(m) verdadero. Después,
(x + a) metro = metro C 0 x metro un 0 + metro C 1 x m-1 un 1 + metro C 2 x m-2 un 2 + ………+ metro C m-1 x 1 un m-1 + metro C metro x 0 un metro ————(1)
Para probar: – X(m+1) es verdadero. es decir
(x + a) m+1 = m+1 C 0 x m+1 a 0 + m+1 C 1 x m a 1 + m+1 C 2 x m-1 a 2 + ………+ m+1 C metro x 1 un metro + m+1 C metro+1 x 0 un metro+1
Prueba:- (x + a) m+1 = (x + a)(x + a) m
= (x + a)[ metro C 0 x metro un 0 + metro C 1 x m-1 un 1 + metro C 2 x m-2 un 2 + ………+ metro C r x m-r un r + metro C metro -1 x 1 a m-1 + m C m x 0 a m ]
= metro C 0 x metro+1 un 0 + ( metro C 1 + metro C 0 )x metro un 1 + ( metro C 2 + metro C 1 )x m-1 un 2 + … +( metro C r + metro C r-1 )x m-r+1 a r + … + ( metro C m-1 + metro C metro )x 1 un metro + metroC m a m+1
[Ya que, m C r-1 + m C r = m+1 C r , r = 1,2,3…..,m]
= m+1 C 0 x m+1 a 0 + m+1 C 1 x m a 1 + m+1 C 2 x m-1 a 2 + ………+ m+1 C m x 1 a m + m +1 C m+1 x 0 a m+1
X(m + 1) es verdadero.
X(m) es verdadera ⇒ X(m + 1) es verdadera.
Puntos importantes sobre la fórmula de expansión binomial
- Como en la expansión Binomial, r puede tener valores de 0 a n, el número total de términos en la expansión es (n+1).
- La suma de los índices de xya en cada término es n.
- Ya que, n C r = n C n-r , para r = 0,1,2……,n . Por tanto, los coeficientes de los términos equidistantes del principio y del final son iguales. Entonces tales coeficientes se conocen como coeficientes binomiales.
- (xa)n =
(-1) rn C r x n-r a r En la expansión de (xa) n tenemos términos alternos positivos y negativos y el signo del último término depende del valor de n (par o impar). - El coeficiente del (r+1)ésimo término o x r en la expansión de (1 + x) n es n C r .
- (x + a) n + (x – a) n = 2[ norte C 0 x n a 0 + n C 2 x n-2 a 2 + …….] y (x + a) n – (x – a ) norte = 2[ norte C 1 x n -1 un 1 + norte C 3 x n-3 un 3 + …….]
- En el desarrollo binomial de (x + a) n , el término general viene dado por T r+1 = n C r x n-r a r
- En el desarrollo binomial de (x – a) n , el término general viene dado por T r+1 = (-1) rn C r x n-r a r
- La expansión binomial de (x + a) n contiene (n + 1) términos. Por lo tanto, si n es par, entonces ((n/2) + 1)th término es el término medio y si n es impar, entonces ((n + 1)/2)th y ((n + 3)/2) th términos son los dos términos medios.
- Diferentes valores de n tienen un número diferente de términos:
| norte | (x + a) norte + (x – a) norte | (x + a) norte – (x – a) norte |
|---|---|---|
| extraño | (n+1)/2 | (n+1)/2 |
| incluso | (n/2)+1 | (n/2) |
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: Encuentra el número de términos en las expansiones de lo siguiente:
(i) (9x – y) 9 (ii) (1 +7x) 9 + (1 – 7x) 9 (iii) (1 + 2x + x 2 ) 20
Solución:
(i) En el desarrollo de (x + a) n el número de términos es (n+1). Por lo tanto, en la expansión de (9x – y) 9 el número de términos es 10.
(ii) En la expansión de (x + a) n + (x – a) n el número de términos es (n+1)/2 si n es impar. Así que número de términos en la expansión de (1 + 7x) 9 + (1 – 7x) 9 = (10/2) = 5
(iii) (1 + 2x + x 2 ) 20 = [(1 + x) 2 ] 20 = (1 + x) 40 . Por lo tanto, número de términos = 41
Pregunta 2: Expandir (3x + 8) 4
Solución:
Según la expansión binomial:
(3x + 8) 4 = 4C0 (3x)4 (8)0 + 4C1 (3x)3 (8)1 + 4C2 (3x) 2 (8) 2 + 4 C 3 (3x) 1 (8) 3 + 4 C 4 (3x) 0 (8) 4
= (3x) 4 + 4.(3x) 3 .8 + 6.(3x) 2 .64 +4.(3x).512 + 4096
= 12×4 + 864×3 + 3456×2 + 6144x + 4096
Pregunta 3: Ampliar (2x – 1) 5
Solución:
Según la expansión binomial:
(2x – 1) 5 = (2x + (-1)) 5 = 5 C 0 (2x) 5 (-1) 0 + 5 C 1 (2x) 4 (-1) 1 + 5 C 2 (2x) 3 (-1) 2 + 5 C 3 (2x) 2 (-1) 3 + 5 C 4 (2x) 1 (-1) 4 + 5 C 5 (2x) 0 (-1) 5
= 32x 5 – 5,16x 4 + 10,8x 3 – 10,4x 2 + 10x – 1
= 32x 5 – 80x 4 + 80x 3 – 40x 2 + 10x – 1
Pregunta 4: Expande (1 + x + x 2 ) 3
Solución:
Sea, y = x + x 2
(1 + x + x2) 3 = (1 + y) 3 = 3 C 0 (1) 3 (y) 0 + 3 C 1 (1) 2 (y) 1 + 3 C 2 (1) 1 (y) 2 + 3 C 3 (1) 0 (y) 3
= 1 + 3y + 3y 2 + y 3
= 1 + 3(x + x 2 ) + 3(x + x 2 ) 2 + (x + x 2 ) 3 = 1 + 3x + 3x 2 + 3(x 2 + x 4 + 2x 3 ) + (x 3 + x 6 + 3x 4 + 3x 5 )
= 1 + 3x + 3x 2 + 3x 2 + 3x 4 + 6x 3 + x 3 + x 6 + 3x 4 + 3x 5
= 1 + 3x + 6x 2 + 7x 3 + 6x 4 + 3x 5 + x 6
Pregunta 5: Encuentra (a + b) 4 – (a – b) 4 . Por lo tanto, evalúe (√3 + √2) 4 – (√3 – √2) 4 .
Solución:
(a + b) 4 – (a – b) 4 = 2.[ 4 C 1 a 3 b 1 + 4 C 3 a 1 b 3 ] = 2.[4a 3 b 1 + 4a 1 b 3 ] = 8a 3 segundo 1 + 8a 1 segundo 3
Ponga a = √3 y b = √2
(√3 + √2) 4 – (√3 – √2) 4 = 8.(√3) 3 (√2) + 8.(√3)(√2) 3 = 24√6 + 16√6 = 40√6
Pregunta 6: Encuentra el décimo término en la expansión binomial de (4x 2 + 1/x) 11 .
Solución:
En la expansión binomial de (x + a) n , (r+1)-ésimo término está dado por T r+1 = n C r x n-r a r
En el desarrollo de (4x 2 + 1/x) 11 , [n = 11, r = 9, x = 4x 2 , a = 1/x]
T 10 = T 9+1 = 11 C 9 (4x 2 ) 11-9 (1/x) 9 = 55.(16x 4 ).(1/x 9 ) = 880/x 5
Pregunta 7: Encuentra el término medio en la expansión de [(4/3)x 2 – (3/4x)] 20 .
Solución:
Aquí, n = 20 (par)
[(20/2) + 1] término, es decir, el término 11 es el término medio.
Por lo tanto, el término medio = T 11 = T 10+1 = 20 C 10 .[(4x 2 /3)] 20-10 . [-(3/4x)] 10 = 20 C 10 .x 10
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Artículo escrito por aayushi2402 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA