Fórmula de exponentes

El exponente es uno de los conceptos básicos importantes de las matemáticas. Los exponentes se usan en varias fórmulas como series, expansión binomial y muchas más. Varias fórmulas exponenciales se utilizan en los diversos campos de las matemáticas. Las fórmulas exponenciales son muy fáciles y útiles. Aprendamos sobre los exponentes y sus fórmulas. Los exponentes son las potencias de cualquier variable o constante. 

Exponentes 

Cuando cualquier número o variable (x) se multiplica n veces, la resultante es x ⁿ . Entonces, n se llama el exponente de xxxxxxx… n veces = x ⁿ   entonces x es la base y n es un exponente de esa base. Un exponente es una potencia sobre un número. Se multiplica por sí mismo. Exponente define el número de veces que un número se multiplica por sí mismo. Ejemplo, 2.2.2 = 2 ³ , base = 2, exponente = 3.

Fórmulas de exponentes 

Fórmulas de exponentes
fórmula del exponente del producto n veces	xxxx … n veces = x n
Regla de multiplicación	x metro _ x norte = x (m + norte)
Regla de división	x m /x n = x (m – n)
Regla de la potencia del producto	(xy) norte = X norte . S n
Regla de la potencia de la fracción	(x/y) norte = x norte / y norte
Regla del poder del poder	[(x) m ] n = x min
exponente cero	(x) 0 = 1, si x ≠ 0
un exponente	(x) 1 = x
exponente negativo	x -n = 1/x n
exponente fraccionario	x metro/n = norte √(x) metro

Nota: Si la base de una ecuación es la misma, podemos igualar los exponentes.

Ejemplos de preguntas 

Pregunta 1: Resuelve lo siguiente: 

• 2.2.2.2     
• 3 ² .3 ³  
• (4.5) ²  
• (5) ⁰  
• 2 ^-2 
• 2 ⁵ /2 ³ 
• [(3) ¹ ] ² 
• 4 ^3/2 
• (4/3) ² 

Solución: 

• 2.2.2.2 = 2 ⁴ =16
• 3 ² .3 ³ = 3 ^{(2 + 3)} = 3 ⁵ = 243
• (4.5) ² = 4 ² .5 ² = (16).(25) = 400
• (5) ⁰ = 1
• 2 ^-2 = 1/2 ² = 1/4
• 2 ⁵ /2 ³ = 2 ^(5-3) = 2 ² = 4
• [(3) ¹ ] ² = 3 ^(1.2) = 3 ² = 9
• 4 ^3/2 = √(4) ³ = √64 = 8
• (4/3) ² = 4 ^{2/3 2} = 16/9

Pregunta 2: Simplifica: 

1. (2 ³ ÷ 2 ⁴ ) ^-2 .2 ³      
2. 3 ^(-2) ÷ 4 ²   
3. 3 ³ .4 ² /6 ⁴   
4. (3 ^-1 + 2 ^-2 + 4 ^-1 )

Solución: 

1. (2 ³ ÷ 2 ⁴ ) ^-2 .2 ³ = (2 ³ /2 ⁴ ) ^-2 .2 ³ = [2 ^{(3 – 4)} ] ^-2 .2 ³ = [2 ^-1 ] ^-2 .2 ³ = 2 ^(-1).(-2) .2 ³ = 2 ² .2 ³ = 2 ⁵ = 32
2. 3 ^(-2) ÷ 4 ² = 1/(3) ² (4) ² = 1/9.16 = 1/144
3. 3 ³ .4 ² /6 ⁴ = 3 ³ .4 ² /(2.3) ⁴ = 3 ³ .2 ⁴ /2 ⁴ .3 ⁴ = 1/3
4. (3 ^-1 + 2 ^-2 + 4 ^-1 ) = (1/3 + 1/2 ² +1/4) = (1/3 + 1/4 + 1/4) = 5/6

Pregunta 3: Encuentra el valor de x si (4) ^{x + 12} = (4) ^{2x + 6} .(2) ⁶

Solución:  

(4) ^x+12 = (4) ^2x+6 .(2 ² ) ³

(4) ^x+12 = (4) ^2x+6 .(4) ³

(4) ^x+12 = (4) ^2x+6+3

(4) ^x+12 = (4) ^2x+9

Ya que las bases son potencias iguales se iguala

x +12 = 2x + 9

2x – x = 12 – 9

x = 3

Pregunta 4: Encuentra el valor de {343 ^4/3 } ^1/4

Solución: 

{343 ^4/3 } ^1/4   = {(7 ³ ) ^4/3 } ^1/4  

= {7} ^{3.(4/3).(1/4)} = 7

Pregunta 5: Encuentra el valor de x + y si:

(81) ^y = 27/(3) ^x , 4 ^y = 256

Solución: 

(3 ⁴ ) ^y = (3 ³ )/(3) ^x

(3) ^4y = (3) ^3-x

Como las bases son iguales entonces las potencias se igualan

4y = 3-x ⇢ Ecuación (1)

4 ^años = 256

4 ^y = (4) ⁴

y = 4

Poniendo el valor de y en la Ecuación 1, 

4.4 = 3x

16 = 3x

x = -13

Ahora, tenemos que encontrar el valor de x + y

x + y = -13+4 = -9

Pregunta 6: Si (-9) ^2x+7 = (-9) ^x . 81, luego encuentra el valor de (x ² + 1)/(x ² – 12).

Solución: 

(-9) ^2x+7 = (-9) ^x . 81

(-9) ^2x+7 = (-9) ^x . (-9) ²

(-9) ^2x+7 = (-9) ^x+2

Como las bases son iguales entonces las potencias se igualan

2x + 7 = x + 2

2x – x = 2 – 7

x = -5

Ahora, tenemos que encontrar el valor de (x ² + 1)/(x ² – 12) 

(x ² + 1)/(x ² – 12) = [(-5) ² + 1]/[(-5) ² – 12]

= [25 + 1]/[25 – 12]

= 26/13  

(x2 ⁺ 1)/(x2 ^– 12) = 2

Pregunta 7: Encuentra el inverso multiplicativo de :- [(-13) ^-1 ] ² ÷ (91) ^-1

Solución: 

Sea x = [(-13) ^-1 ] ² ÷ (91) ^-1 

x = (-13) ^-2 ÷ (91) ^-1 

= (-1/13 ² ) ÷ (1/91)

= (-1/13 ² ) × 91

x = -7/13

El inverso multiplicativo viene dado por 1/x, es decir

1/x = 1/(-7/13)

1/x = -13/7