Fórmula de función cuadrática

Una función se llama función algebraica, que se puede definir como la raíz de la función polinomial. Estas son las expresiones algebraicas que contienen un número finito de términos, que contienen tanto constantes como variables. Hay muchos tipos de funciones algebraicas, algunas de ellas son función lineal, función cuadrática, función cúbica, etc. Ejemplos:

• 2x ⇢ función lineal
• x ² + 2x + 3 ⇢ función cuadrática
• x ³ + x ² + 6x + 9 ⇢ función cúbica

Fórmula de función cuadrática

Se dice que una función es cuadrática en la que el exponente más alto de la variable en la ecuación es 2. Una función cuadrática es una función polinomial con una o más variables. La forma estándar de la ecuación cuadrática es f(x) = ax ² + bx + c , esto dice que al menos un término en la ecuación dada está elevado al cuadrado. En la ecuación anterior a, b, c son términos constantes y x es una variable. 

f(x) = ax2 ⁺ bx + c,

Donde a no es igual a 0 y a, b, c son números reales.

Grado del polinomio = 2.

Ejemplos de funciones cuadráticas:

1. 4x ² + 3x + 5
2. 6x ² + x + 7
3. 7x ² + 5x
4. 9×2 ^_

Para cualquier ecuación, hay n raíces, donde n es el grado del polinomio. Las raíces de la ecuación cuadrática son,

x = (-b ± √ (b² – 4ac) )/2a

Derivación para raíces de ecuación cuadrática

hacha ² + bx + c = 0

1. Empezar con ax ² + bx + c=0
2. Divide la ecuación por ax ² + (b/a) + c/a = 0
3. Pon c/a del otro lado x ² + (b/a) x = -c/a
4. Suma (b/2a) ² a ambos lados x ² + (b/a)x + (b/2a) ² = -c/a + (b/2a) ²
5. El lado izquierdo ahora está en el formato x ² + 2dx + d ² , donde «d» es «b/2a»

Así que reescríbelo de esta manera:

“Completar el Cuadrado” (x+b/2a) ² = -c/a + (b/2a) ²

Hay diferentes tipos de raíces para una ecuación cuadrática, 

Para encontrar la naturaleza de las raíces usamos un término llamado discriminante . El término se llama discriminante porque determina las raíces de la ecuación cuadrática en función de su signo.

Hay 3 tipos en la naturaleza de las raíces, 

• Raíces reales y distintas

Para raíces reales y distintas, el discriminante debe ser positivo, es decir , b ² – 4ac > 0. La curva de la ecuación se cruza con el eje x en dos puntos diferentes.

• Raíces reales e iguales

Para raíces reales e iguales, el discriminante es cero, es decir , b ² – 4ac = 0. La curva de la ecuación se cruza con el eje x en un solo punto.

• Raíces complejas

Para raíces complejas, el discriminante es negativo, es decir , b ² – 4ac = 0. La curva de la ecuación no corta el eje x.

Ejemplos de problemas

Pregunta 1: Escribe la función cuadrática f(x) = (x – 9)(x + 3) en la forma general de ax ² + bx + c.

Solución: 

Dada, la función como (x – 9)(x + 3)

= x ² + 3x – 9x – 27

= x ² – 6x – 27 es la forma general.

Pregunta 2: Encuentra las constantes a, b, c en la forma general de la ecuación 4x ² + 5x + 9 = 0.

Responder: 

Dada, la ecuación es 4x ² + 5x + 9 = 0, la ecuación general de una ecuación cuadrática es ax ² + bx + c = 0.

Por tanto, a partir de la referencia de la ecuación general, a = 4, b = 5, c = 9.

Pregunta 3: Escribe la función cuadrática f(x) = (x + 8)(x – 3) en la forma general de ax ² + bx + c.

Solución :

Dada, la función como (x + 8)(x – 3)

= x ² – 3x + 8x – 24

= x ² + 5x – 24 es la forma general

Pregunta 4: Encuentra las raíces de la ecuación 2x ^​​2 – 4x + 2 = 0.

Solución: 

Aquí a = 2, b = -4, c = 2, para encontrar las raíces de la ecuación, primero necesitamos encontrar el valor discriminante que nos ayuda a conocer la naturaleza de las raíces.

discriminante = b ² – 4ac = (-4) ² – 4(2)(2) = 16 – 16 = 0, que es igual a cero. Por lo tanto, tiene raíces reales e iguales.

raíces = (−b ± √(b ² − 4ac)) / 2a

= (-(-4) ± √(0) ) / 2(4) )

= 1 es la raíz de la ecuación.

Pregunta 5: Encuentra las raíces de la ecuación 4x ² – 3x + 3.

Solución: 

Aquí a = 4, b = -3, c = 3, para encontrar las raíces de la ecuación, primero necesitamos encontrar el valor discriminante que nos ayuda a conocer la naturaleza de las raíces.

discriminante = b ² – 4ac = (-3) ² – 4(4)(3) = 9 – 48 = -39, que es negativo. Entonces, tiene raíces complejas.

raíces = (−b ± √(b ² − 4ac)) / 2a

= (-(-3) ± √-39 / 2(4) )

= (3 ± 39i)/8 son las raíces de la ecuación cuadrática.

Pregunta 6: Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática 6x ² – 8x + 2 = 0.

Solución:

Aquí a = 6, b = -8, c = 2, para encontrar las raíces de la ecuación, primero necesitamos encontrar el valor discriminante que nos ayuda a conocer la naturaleza de las raíces.

discriminante = b ² – 4ac = (-8)(-8) – 4(6)(2) = 64 – 48 = 16, que es positivo. Por lo tanto, tiene raíces reales y distintas.

 x = (-b ± √ (b² – 4ac) )/2a

= (-(-8) ± √((-8)(-8) – 4(6)(2))) / 2(6)

= (8 ± √16) / 12

= (8 ± 4)12

= 1/3 y 1 son las raíces de la ecuación.