El álgebra es un gran campo de las matemáticas. Álgebra, en pocas palabras, es el estudio de los símbolos matemáticos y las reglas para manipular estos símbolos en fórmulas, es un hilo conductor que atraviesa prácticamente todas las matemáticas.
Funcion exponencial
Una función exponencial es una función matemática de la forma f (x) = a x , donde ‘x’ es una variable y ‘a’ es una constante. Esta es la base de la función y debe ser mayor que 0. La amplia variedad trascendental e , que es aproximadamente lo mismo que 2.71828, es la base de función exponencial más utilizada.
Por ejemplo,
- f( x ) = 2x
- f(x) = (1/2) x
- f(x) = 3e 2x
- f(x) = 4 (3) -0.5x
Fórmula para el Crecimiento Exponencial:
Al principio, la cantidad crece muy lentamente, luego rápidamente en un crecimiento exponencial. Con el tiempo, la tasa de cambio se acelera. Con el paso del tiempo, la tasa de crecimiento se acelera. La rápida expansión se describe como un «aumento exponencial».
La fórmula de crecimiento exponencial es la siguiente:
y = un ( 1+ r ) x
Fórmula para el decaimiento exponencial
En el Decaimiento Exponencial, la cantidad decrece rápidamente al principio, luego gradualmente. La tasa de cambio se ralentiza con el tiempo. La tasa de cambio se ralentiza con el paso del tiempo. Se suponía que el rápido aumento crearía una «disminución exponencial».
La fórmula para el crecimiento exponencial es la siguiente:
y = un ( 1- r ) x
Serie exponencial
- La siguiente serie de potencias se puede utilizar para definir la función exponencial real.
mi x = ∑ ∞ n=0 x norte /n! = (1/1) + (x/1) + (x 2 /2) + (x 3 /6) + …
- Algunas otras expansiones de funciones exponenciales se ilustran a continuación,
mi = ∑ ∞ n =0 x norte / norte! = (1/1) + (1/1) + (1/2) + (1/6) + …
mi -1 = ∑ ∞ n=0 x n /n! = (1/1) – (1/1) + (1/2) – (1/6) + …
Reglas de funciones exponenciales
Las siguientes son algunas reglas exponenciales importantes:
Para cualquier número real x e y, si a>0 y b>0, se cumple lo siguiente:
- ax ay = ax + y
- ax / ay = ax- y
- (a x ) y = a xy
- a x b x = (ab) x
- (a/b) x = a x /b x
- un 0 = 1
- a – x = 1/ ax
Propiedad de igualdad de la función exponencial
Si dos funciones exponenciales con las mismas bases son iguales, sus exponentes son igualmente iguales, según la propiedad de igualdad de las funciones exponenciales. es decir,
segundo x 1 = segundo x 2 ⇔ x 1 = x 2
Derivada de función exponencial
Las fórmulas de diferenciación que se utilizan para obtener la derivada de la función exponencial,
d/dx (e x ) = e x
d/dx (a x ) = a x · ln a
Integración de la función exponencial
La integral de una función exponencial se calcula mediante fórmulas de integración.
∫ mi x dx = mi x + C
∫ a x dx = a x / (ln a) + C
Problemas de muestra
Problema 1: En 2010, un pueblo tenía 100.000 habitantes. ¿Cuántos ciudadanos habrá dentro de diez años si la población crece a una tasa anual del 8%?
Solución:
La población inicial es, a = 100.000.
La tasa de crecimiento es, r = 8% = 0,08.
El tiempo es, x = 10 años.
Usando la fórmula de crecimiento exponencial,
f(x) = un (1 + r) x
f(x) = 100000(1 + 0.08) 10
f(x) ≈ 215,892
Problema 2: El carbono-14 tiene una vida media de 5.730 años. ¿Cuál es la cantidad de carbono que queda después de 2000 años si al principio había 1000 kilos de carbono?
Solución:
Usando los datos dados, podemos decir que el carbono-14 se está descomponiendo y, por lo tanto, usamos la fórmula de decaimiento exponencial.
P = P 0 e -kt … (1),
Aquí, P 0 = cantidad inicial de carbono = 1000 gramos.
Se da que la vida media del carbono-14 es de 5.730 años. Significa
P = P 0 / 2 = 1000 / 2 = 500 gramos.
Sustituye todos estos valores en (1),
500 = 1000 e -k (5730)
Dividiendo ambos lados por 1000,
0,5 = e -k (5730)
Tomando «ln» en ambos lados,
ln 0.5 = -5730k
Dividiendo ambos lados por -5730,
k = ln 0,5 / (-5730) ≈ 0,00012097
Tenemos que encontrar la cantidad de carbono que queda después de 2000 años. Sustituya t = 2000 en (1),
P = 1000 e -(0.00012097) (2000) ≈ 785 gramos.
Problema 3: Simplifica la siguiente expresión exponencial: 3 x – 3 x+2 .
Solución:
Ecuación exponencial dada: 3 x – 3 x+2
Usando la propiedad: a x a y = a x+y
Por lo tanto, 3 x+2 se puede escribir como 3 x .3 2
Por lo tanto, la ecuación dada se escribe como:
3 x – 3 x+2 = 3 x – 3 x ·9
Ahora, factoriza el término 3 x
3 x – 3 x+2 = 3 x – 3 x ·9 = 3 x (1 – 9)
3x – 3x +2 = 3x (-8)
3x – 3x +2 = -8( 3x )
Por lo tanto, la simplificación de la ecuación exponencial dada 3 x -3 x+1 es -8(3 x ) .
Problema 4: Resuelve la ecuación exponencial: (¼) x = 64.
Solución:
Dada la ecuación exponencial es:
(¼) x = 64
Usando la regla exponencial (a/b) x = a x /b x , obtenemos;
1 x /4 x = 43
1/4 x = 43 [ya que 1 x = 1]
(1)(4 -x ) = 4 3
4 -x = 4 3
Aquí, las bases son iguales.
Asi que,
X = -3
Problema 5: Simplifica la función exponencial 2 x – 2 x+1 .
Solución:
Función exponencial dada: 2 x – 2 x+1
Usando la propiedad: a x a y = a x+y
Por lo tanto, 2 x+1 se puede escribir como 2 x . 2
Por lo tanto, la función dada se escribe como:
2x – 2x + 1 = 2x – 2x . 2
Ahora, factoriza el término 2 x
2x – 2x + 1 = 2x – 2x . 2 = 2 × (1-2)
2x – 2x +1 = 2x ( -1)
2x – 2x+ 1 = – 2x
Por lo tanto, la simplificación de la función exponencial dada 2 x – 2 x+1 es – 2 x .
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Artículo escrito por bunny031200 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA