Fórmula de gradiente de punto

Una línea recta en un plano cartesiano pasa por un número infinito de puntos. Cada uno de estos puntos tiene sus propias coordenadas x e y. Los puntos por los que pasa una recta se usan para encontrar su pendiente. No solo eso, sino que esos puntos también se pueden usar para escribir la ecuación de una línea. Uno de tales métodos se analiza a continuación.

Fórmula de gradiente de punto

De muchos métodos para escribir/encontrar/expresar la ecuación de una línea recta en forma cartesiana, la fórmula punto-pendiente o punto-gradiente ocupa un lugar muy importante en la geometría de coordenadas. Como sugiere su nombre, esta forma de la ecuación consta de un punto por el que pasa la línea y su pendiente. 

Fórmula

La fórmula punto-gradiente se da de la siguiente manera:

y – y ₁ = m(x – x ₁ )

Dónde,

• x e y representan coordenadas de puntos generales.
• x ₁ e y ₁ son las coordenadas numéricas de un punto por el que pasa la recta.
• m representa la pendiente de la línea dada.

Derivación de la fórmula punto-gradiente

Pendiente de una recta que pasa por dos puntos (x, y) y(x ₁ , y ₁ ) = m = 

Multiplicando ambos lados por (x – x ₁ ), tenemos:

⇒ y – y ₁ = m(x – x ₁ )

Por lo tanto probado.

Problemas de muestra

Pregunta 1: ¿Cuál es la ecuación de una recta que pasa por (2, −4) y pendiente 5?

Solución:

El punto dado es (2, −4). Por lo tanto, x ₁ = 2, y ₁ = −4.

Además, m = pendiente = 5. 

Sabemos que la ecuación punto pendiente de una línea está dada por y – y ₁ = m(x – x ₁ ).

Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación, tenemos:

y-(-4) = 5(x-2)

⇒ y + 4 = 5x − 10

⇒ y = 5x − 10 − 4

⇒ y = 5x − 14

Pregunta 2: ¿Cuál es la ecuación de una recta que pasa por (5, 2) y pendiente 3/4?

Solución:

El punto dado es (5, 2). Por lo tanto, x ₁ = 5, y ₁ = 2.

Además, m = pendiente = 3/4.

Sabemos que la ecuación punto pendiente de una línea está dada por y – y ₁ = m(x – x ₁ ).

Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación, tenemos:

y − (2) = 3/4(x − 5)

⇒ y − 2 = 3x/4 − 15/4

⇒ y = 3x/4 − 15/4 + 2

⇒ y = 3x/4 − 7/4

Pregunta 3: ¿Cuál es la ecuación de una recta horizontal que pasa por (3, 3)?

Solución:

El punto dado es (3, 3). Por lo tanto, x ₁ = 3, y ₁ = −3.

Como la pendiente de una recta horizontal es cero, m = 0.

Sabemos que la ecuación punto pendiente de una línea está dada por y – y ₁ = m(x – x ₁ ).

Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación, tenemos:

y − (3) = 0(x − 3)

⇒ y – 3 = 0

⇒ y = 3

Pregunta 4: Se da que una recta pasa por los puntos (1, 1) y (-2, 4). Encuentra su ecuación usando la fórmula punto-pendiente.

Solución:

Sabemos que la ecuación punto pendiente de una línea está dada por y – y ₁ = m(x – x ₁ ).

Para usar la forma punto-pendiente, primero necesitamos calcular la pendiente de la línea.

Pendiente = metro = 

⇒ metro = -1

Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación, tenemos:

y-(1) = -1(x-1)

⇒ y − 1 = -x + 1

⇒ y = -x + 2

Pregunta 5: ¿Cuál es la ecuación de una recta que pasa por (0, 3) y pendiente 8?

Solución:

El punto dado es (0, 3). Por lo tanto, x ₁ = 0, y ₁ = 3.

Además, m = pendiente = 8.

Sabemos que la ecuación punto pendiente de una línea está dada por y – y ₁ = m(x – x ₁ ).

Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación, tenemos:

y – 3 = 8(x – 0)

⇒ y − 3 = 8x

⇒ y = 8x + 3