Cuando un número entero se multiplica por otro número entero, el número resultante se denomina número cuadrado. La raíz cuadrada de un número es el factor de un número que, cuando se multiplica por sí mismo, da como resultado el número original. El cuadrado de un número a se denota por un 2 y su raíz cuadrada se representa por el símbolo √a. Por ejemplo, el cuadrado del número 4 es 4 × 4 = 16. Pero la raíz cuadrada de 4 es √4 = 2.
Fórmula de la propiedad de la raíz cuadrada
Hay ciertas propiedades o características que deben seguirse al resolver expresiones de raíz cuadrada.
Propiedad 1: si dos valores de raíces cuadradas tienen que multiplicarse individualmente, pueden multiplicarse dentro de una raíz cuadrada común con el fin de simplificar, es decir, √p ⋅ √q = √(pq).
Ejemplo:
- √2 ⋅ √3 = √6
- √5 ⋅ √3 = √15
Propiedad 2 : si se tiene que evaluar la raíz cuadrada de una fracción, entonces las raíces cuadradas de su numerador y denominador pueden evaluarse por separado y luego dividirse entre sí, es decir, √(p/q) = √p/√q.
Ejemplo:
- √(13/5) = √13/√5
- √(5/12) = √5/√12
Propiedad 3: No se pueden sumar/restar dos valores cualesquiera en una sola raíz cuadrada si están en raíces separadas, es decir, √a ± √b ≠ √(a ± b).
Ejemplo:
- √3 + √5 ≠ √8
- √4 + √7 ≠ √11
Propiedad 4: Si un valor presente en la raíz cuadrada es un cuadrado perfecto, entonces debe sacarse de la raíz para simplificar los cálculos en la expresión, es decir, √c 2 p = c√p.
Ejemplo:
- √2 2 ⋅ 5 = 2√5
- √6 2 ⋅ 7 = 6√7
Problemas de muestra
Problema 1. Simplifica la expresión √12 ⋅ √7 + √15/√147.
Solución:
Tenemos la expresión, √12 ⋅ √7 + √15/√147
Usando las propiedades de la raíz cuadrada que tenemos,
√12 ⋅ √7 + √15/√98 = √(2 ⋅ 2 ⋅ 3) ⋅ √7 + √15/√(3 ⋅ 7 ⋅ 7)
= 2 ⋅ √21 + (1/7) √15/√3
= 2√21 + (1/7) √(15/3)
= 2√21 + √5/7
Problema 2. Simplifica la expresión √219/√3 + √153 ⋅ √49.
Solución:
Tenemos la expresión, √219/√3 + √153 ⋅ √49
Usando las propiedades de la raíz cuadrada que tenemos,
√219/√3 + √153 ⋅ √49 = √(219/3) + √(3 ⋅ 3 ⋅ 17) ⋅ √(7 ⋅ 7)
= √73 + 3√17 ⋅ 7
= √73 + 21√17
Problema 3. Simplifica la expresión √415/√10 + √36/√9.
Solución:
Tenemos la expresión, √415/√10 + √36/√9
Usando las propiedades de la raíz cuadrada que tenemos,
√415/√10 + √36/√9 = √415/√10 + √(36/9)
= √(5 ⋅ 83)/√10 + √(36/9)
= √(5 ⋅ 83)/√10 + √4
= √83/√2 + 2
Problema 4. Simplifica la expresión √432 + √125/√5.
Solución:
Tenemos la expresión, √432 + √125/√5
Usando las propiedades de la raíz cuadrada que tenemos,
√432 + √125/√5 = √432 + √(125/5)
= √(3 ⋅ 144) + √(125/5)
= 3√12 + √25
= 3√(2 ⋅ 2 ⋅ 3) + 5
= 6√3 + 5
Problema 5. Simplifica la expresión (√81/√9) (√196/√14).
Solución:
Tenemos la expresión, (√81/√9) (√196/√14)
Usando las propiedades de la raíz cuadrada que tenemos,
(√81/√9) (√196/√14) = √(81/9) √(196/14)
= √9 (√14)
= 3 √14
Problema 6. Simplifica la expresión (√225/√15)/(√9/√3).
Solución:
Tenemos la expresión, (√225/√15)/(√9/√3)
Usando las propiedades de la raíz cuadrada que tenemos,
(√225/√15)/(√9/√3) = (√(225/15)/√(9/3)
= √15/√3
= √(15/3)
= √5
Problema 7. Simplifica la expresión (√361/√19) – (√216/√36) + (√18/√3).
Solución:
Tenemos la expresión, (√361/√19) – (√216/√36) + (√18/√3)
Usando las propiedades de la raíz cuadrada que tenemos,
(√361/√19) – (√216/√36) + (√18/√3) = √(361/19) – √(216/36) – √(18/3)
= √19 – √6 – √6
= √19 – 2√6