El cálculo es el estudio matemático del cambio continuo, similar a cómo la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de las generalizaciones de las operaciones aritméticas. El cálculo diferencial y el cálculo integral son las dos disciplinas principales; el cálculo diferencial se ocupa de las tasas de cambio instantáneo y las pendientes de las curvas, mientras que el cálculo integral se ocupa de la acumulación de cantidades y áreas debajo o entre las curvas. El teorema fundamental del cálculo conecta estas dos disciplinas, y ambas emplean los principios fundamentales de secuencias infinitas y series infinitas que convergen en un límite bien definido.
Fórmula de la regla del cociente
En cálculo, la regla del cociente es una técnica para determinar la derivada de cualquier función proporcionada en forma de cociente derivado de la división de dos funciones diferenciables. La regla del cociente dice que la derivada de un cociente es igual a la razón del resultado obtenido al restar el numerador por la derivada del denominador del denominador por la derivada del numerador al cuadrado de la derivada del denominador.
Si tenemos una función del tipo u(x)/v(x), podemos usar la derivada de la regla del cociente para obtener la derivada de esa función. La fórmula de la regla del cociente es la siguiente:
dónde,
u(x) y v(x) son funciones diferenciables en R.
u'(x) y v'(x) son las derivadas de las funciones u(x) y v(x) respectivamente.
![\frac{d\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)}{dx}=[v(x) × u'(x) - u(x) × v'(x)]/[v(x)]^2](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-23f6b8243cbfd8762c1675edb65355de_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Derivación
Supongamos que una función f(x) = u(x)/v(x) es diferenciable en x. Probaremos la fórmula de la regla del producto usando la definición de derivada o límites.
=
=
=
=
=
=
poner
y
= [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)]/[v(x)] 2
Esto deriva la fórmula para la regla del cociente.
![\frac{1}{[v(x)]^2}\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{\Delta x}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb47bdf5901b20c69b033062fbe1e763_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\frac{1}{[v(x)]^2}\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x)+u(x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{\Delta x}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9d070e490570db24e66a95923f56107_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\frac{1}{[v(x)]^2}\lim_{\Delta x\to0}\frac{v(x)(u(x+\Delta x)-u(x))-u(x)(v(x+\Delta x)-v(x))}{\Delta x}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ab8c5d91759eca97905dd70271f727b7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\frac{1}{[v(x)]^2}\left[v(x)\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}-u(x)\lim_{\Delta x\to0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\right]](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea67192391b83e065b28590b931cc740_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Problemas de muestra
Pregunta 1. Encuentra la derivada de la función f(x) = 1/x usando la regla del cociente.
Solución:
Tenemos, f(x) = 1/x. Aquí, u(x) = 1 y v(x) = x.
Entonces, u'(x) = 0 y v'(x) = 1
Usando la regla del cociente tenemos,
f'(x) = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)]/[v(x)] 2
= [x (0) – 1 (1)/x 2
= 1/ x2
Pregunta 2. Encuentra la derivada de la función f(x) = 1/sen x usando la regla del cociente.
Solución:
Tenemos, f(x) = 1/sen x. Aquí, u(x) = 1 y v(x) = sen x.
Entonces, u'(x) = 0 y v'(x) = cos x
Usando la regla del cociente tenemos,
f'(x) = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)]/[v(x)] 2
= [sen x (0) – 1 (cos x)]/cos 2 x
= -cos x/ cos 2 x
= -1/cos x
= -seg x
Pregunta 3. Encuentra la derivada de la función f(x) = x/sen x usando la regla del cociente.
Solución:
Tenemos, f(x) = x/sen x. Aquí, u(x) = x y v(x) = sen x.
Entonces, u'(x) = 1 y v'(x) = cos x
Usando la regla del cociente tenemos,
f'(x) = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)]/[v(x)] 2
= [sen x (1) – x (cos x)]/cos 2 x
= (sen x – x cos x)/cos 2 x
Pregunta 4. Encuentra la derivada de la función f(x) = cos x/x usando la regla del cociente.
Solución:
Tenemos, f(x) = cos x/x. Aquí, u(x) = cos x y v(x) = x.
Entonces, u'(x) = -sen x y v'(x) = 1
Usando la regla del cociente tenemos,
f'(x) = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)]/[v(x)] 2
= [x (-sen x) – cos x (1)]/x 2
= (-x sen x – cos x)/x 2
Pregunta 5. Encuentra la derivada de la función f(x) = log x/x usando la regla del cociente.
Solución:
Tenemos, f(x) = log x/x. Aquí, u(x) = log x y v(x) = x.
Entonces, u'(x) = 1/x y v'(x) = 1
Usando la regla del cociente tenemos,
f'(x) = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)]/[v(x)] 2
= [x (1/x) – log x (1)]/x 2
= (1 – log x)/x 2
Pregunta 6. Encuentra la derivada de la función f(x) = (2x – 1)/x 2 usando la regla del cociente.
Solución:
Tenemos, f(x) = (2x – 1)/x 2 . Aquí, u(x) = 2x – 1 y v(x) = x 2 .
Entonces, u'(x) = 2 y v'(x) = 2x
Usando la regla del cociente tenemos,
f'(x) = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)]/[v(x)] 2
= [x 2 (2) – (2x – 1) (2x)]/x 4
= (2x 2 – 4x 2 + 2x)/x 4
= (-2×2 + 2x)/ x4
= [-2x(x – 1)]/ x4
= -2(x – 1)/ x3
Pregunta 7. Encuentra la derivada de la función f(x) = log x/sin x usando la regla del cociente.
Solución:
Tenemos, f(x) = log x/sen x. Aquí, u(x) = log x y v(x) = sen x.
Entonces, u'(x) = 1/x y v'(x) = cos x
Usando la regla del cociente tenemos,
f'(x) = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)]/[v(x)] 2
= [sen x (1/x) – log x (cos x)]/sen 2 x
= [sen x/x – log x cos x]/sen 2 x