El cálculo es una disciplina de las matemáticas que se ocupa del cambio continuo y es una de las ramas más importantes de las matemáticas. El cálculo se basa en dos conceptos clave: derivadas e integrales. La tasa de cambio de una función se mide por su derivada, mientras que el área bajo la curva de la función se mide por su integral. La integral recoge los valores discretos de una función en un rango de valores, mientras que la derivada ofrece la explicación de la función en un punto dado.
Regla del producto
En cálculo, la regla del producto es una técnica para determinar la derivada de cualquier función que se presenta en forma de producto producido al multiplicar dos funciones diferenciables. La derivada de un producto de dos funciones diferenciables es igual a la suma del producto de la segunda función con diferenciación de la primera función y el producto de la primera función con diferenciación de la segunda función, según la regla del producto.
Si tenemos una función de tipo f(x)⋅g(x), podemos usar la derivada de la regla del producto para obtener la derivada de esa función. La fórmula de la regla del producto es la siguiente:
d(u(x).v(x))/dx = [v(x)×u′(x)+u(x)×v′(x)]
dónde,
u(x) y v(x) son funciones diferenciables en R.
u'(x) y v'(x) son las derivadas de las funciones u(x) y v(x) respectivamente.
Derivación
Supongamos que una función f(x) = u(x)⋅v(x) es derivable en x. Probaremos la fórmula de la regla del producto usando la definición de derivada o límites.
=
=
=
=
=
poner
y
= v(x) × u'(x) + u(x) × v'(x)
Esto deriva la fórmula para la regla del producto.
Problemas de muestra
Pregunta 1. Encuentra la derivada de la función f(x) = x sen x usando la regla del producto.
Solución:
Tenemos, f(x) = x sen x. Aquí, u(x) = x y v(x) = sen x.
Entonces, u'(x) = 1 y v'(x) = cos x
Usando la regla del producto tenemos,
f'(x) = v(x)u'(x) + u(x)v'(x)
= sen x (1) + x (cos x)
= sen x + x cos x
Pregunta 2. Encuentra la derivada de la función f(x) = x log x usando la regla del producto.
Solución:
Tenemos, f(x) = x log x. Aquí, u(x) = x y v(x) = log x.
Entonces, u'(x) = 1 y v'(x) = 1/x
Usando la regla del producto tenemos,
f'(x) = v(x)u'(x) + u(x)v'(x)
= registro x (1) + x (1/x)
= logaritmo x + 1
Pregunta 3. Encuentra la derivada de la función f(x) = x 2 cos x usando la regla del producto.
Solución:
Tenemos, f(x) = x 2 cos x. Aquí, u(x) = x 2 y v(x) = cos x.
Entonces, u'(x) = 2x y v'(x) = -sen x
Usando la regla del producto tenemos,
f'(x) = v(x)u'(x) + u(x)v'(x)
= cos x (2x) + x 2 (-sen x)
= 2x cos x – x 2 sen x
Pregunta 4. Encuentra la derivada de la función f(x) = sen x log x usando la regla del producto.
Solución:
Tenemos, f(x) = sen x log x. Aquí, u(x) = sen x y v(x) = log x.
Entonces, u'(x) = cos x y v'(x) = 1/x
Usando la regla del producto tenemos,
f'(x) = v(x)u'(x) + u(x)v'(x)
= log x (cos x) + sen x (1/x)
= log x cos x + sen x/ x
Pregunta 5. Encuentra la derivada de la función f(x) = tan x sec x usando la regla del producto.
Solución:
Tenemos, f(x) = tan x sec x. Aquí, u(x) = tan x y v(x) = sec x.
Entonces, u'(x) = sec 2 x y v'(x) = sec x tan x
Usando la regla del producto tenemos,
f'(x) = v(x)u'(x) + u(x)v'(x)
= seg x (seg 2 x) + tan x (seg x tan x)
= seg x (seg 2 x + tan 2 x)
= seg x ( 2 seg 2 x – 1)
Pregunta 6. Encuentra la derivada de la función f(x) = (x – 3) sen x usando la regla del producto.
Solución:
Tenemos, f(x) = (x – 3) cos x. Aquí, u(x) = x – 3 y v(x) = sen x.
Entonces, u'(x) = 1 y v'(x) = cos x
Usando la regla del producto tenemos,
f'(x) = v(x)u'(x) + u(x)v'(x)
= sen x (1) + (x – 3) (cos x)
= sen x + x cos x – 3 cos x
Pregunta 7. Encuentra la derivada de la función f(x) = x sec x usando la regla del producto.
Solución:
Tenemos, f(x) = x sec x. Aquí, u(x) = x y v(x) = sec x.
Entonces, u'(x) = 1 y v'(x) = sec x tan x
Usando la regla del producto tenemos,
f'(x) = v(x)u'(x) + u(x)v'(x)
= seg x (1) + x (seg x tan x)
= seg x (1 + x tan x)