La trigonometría es una rama importante de las matemáticas que se ocupa de la relación entre las longitudes de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. La palabra trigonometría se deriva de las palabras griegas donde ‘Tri’ significa ‘tres’, ‘gon’ significa ‘lados’ y ‘metron’ significa ‘medida’. Seno, coseno, tangente, cotangente, cosecante y secante son las seis razones trigonométricas. Donde una razón trigonométrica se representa como la razón entre los lados de un triángulo. Ahora las fórmulas de la razón trigonométrica se dan como,
- seno θ = lado opuesto/hipotenusa
- coseno θ = lado adyacente/hipotenusa
- tan θ = lado opuesto/hipotenusa
- cosecante θ = 1/seno θ = hipotenusa/lado opuesto
- secante θ = 1/coseno θ = hipotenusa/lado adyacente
- cotangente θ = 1/tangente θ = lado adyacente/lado opuesto
Regla del seno o ley de los senos
La regla del seno o la ley de los senos es una ley trigonométrica que da una relación entre los lados y los ángulos del triángulo (triángulo no rectángulo). Sean a, b y c las longitudes de los tres lados de un triángulo ABC y A, B y C por sus respectivos ángulos opuestos. Ahora la expresión para la regla del seno se da como,
sin A/a = sin B/b = sin C/c (o) a/sin A = b/sin B = c/sin C
Solicitud
Al usar la fórmula de la regla del seno, podemos encontrar la longitud del lado de un triángulo, el ángulo de un triángulo y también el área de un triángulo.
Prueba
En el triángulo ABC, los lados del triángulo están dados por AB = c, BC = a y AC = b.
Dibujemos una perpendicular BD que sea perpendicular a AC. Ahora tenemos dos triángulos rectángulos ADC y BDC.
BD = h 1 es la altura del triángulo ABC.
En el triángulo ADC,
sen A = h 1 /c ⇢ (1)
En el triángulo BDC,
sen C = h 1 /a ⇢ (2)
Ahora dividiendo las ecuaciones (1) y (2).
Obtenemos, sen A/sen C = a/c ⇒ a/sen A = c/sen C ⇢ (3)
Del mismo modo, dibuje una perpendicular AE que sea perpendicular a BC. Ahora AEB y BEC son los triángulos rectángulos separados por h 2.
En el triángulo AEB,
sen B = h 2 /c ⇢ (4)
En el triángulo AEC,
sen C = h 2 /b ⇢ (5)
Ahora dividiendo las ecuaciones (4) y (5),
sen B/sen C = b/c ⇒ b/sen B = c/sen C ⇢ (6)
Ahora, al igualar las ecuaciones (3) y (6) obtenemos,
a/sin A = b/sin B = c/sin C (o) sin A/a = sin B/b = sin C/c
Problemas de muestra
Problema 1: Encuentra las longitudes restantes del triángulo XYZ cuando ∠X = 30° y ∠Y = 45° y x = 5 cm.
Solución:
Dados los datos, ∠X = 30°, ∠Y = 45° y x = 5 cm
Sabemos que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°
Entonces, ∠X + ∠Y + ∠Z = 1
30° + 45° + ∠Z = 180° ⇒ 75° + ∠Z = 180°
∠Z = 105°
Ahora, de la ley de los senos, x/ sen X = y/ sen Y = z/ sen Z
x/sen X = y/ sen Y ⇒ 5/ sen 30° = y/ sen 45°
⇒ x/(1/2) = y/(1/√2) ⇒ 10 =√2y ⇒ y = 7,07 cm
De manera similar, x/ sen X = z/sen Z ⇒ 5/sen 30° = z/sen 105° [sen 105° = (√6 + √2)/4 = 0,965]
⇒ 5/(1/2) = z/(0,965) ⇒ z = 9,65 cm
Problema 2: ¿Encuentra ∠P y ∠Q y la longitud del tercer lado cuando ∠R = 36° y p = 2,5 cm y r = 7 cm?
Solución:
Dado, ∠R = 36° y p = 2,5 cm y r = 7 cm
De la fórmula de la regla del seno tenemos,
p/sen P = q/sen Q = r/sen R
⇒ 2,5/sen P = q/ sen Q = 7/sen 36°
⇒ 2,5/sen P = 7/sen 36° [sen 36° = 0,5878]
⇒ sen P = 0,20992 ⇒ P = sen -1 (0,20992)
⇒ ∠P = 12,12°
⇒ Tenemos, ∠P + ∠Q + ∠R = 180°
⇒12,12° + ∠Q + 36° = 180° ⇒ ∠Q = 131,88°
⇒ q/sen 131,88° = 7/sen 36°
⇒ q/0,7445 = 7/0,5878 ⇒ q = 8,866 cm (aproximadamente)
Por lo tanto, ∠P = 12,12°, ∠Q = 131,88° y q = 8,866 cm
Problema 3: ¿Encuentra la razón de los lados del triángulo ABC cuando ∠A = 15°, ∠B = 45° y ∠C = 120°?
Solución:
Dado: ∠A =15°, ∠B = 45° y ∠C = 120°
De la fórmula de la regla del seno, a/ sen A = b/ sen B = c/ sen C ⇒ a : b : c = sen A : sen B : sen C
⇒ a : b : c = sen 15° : sen 45° : sen 120°
sen 15° = (√3 – 1)/2√2 = 0,2588 (valor aproximado)
sen 45° = 1/√2 = 0,7071 (valor aproximado)
sen 120° = √3/2 = 0,866 (valor aproximado)
Por tanto, la razón de los tres lados del triángulo ABC es a : b : c = 0,2588 : 0,7071 : 0,866
Problema 4: ¿Encontrar el área del triángulo ABC cuando BC = 10 cm, AB = 12 cm y ∠B= 30°?
Solución:
Dado, BC = a = 10 cm, AB = c = 12 cm y ∠B= 30°
Sabemos que, Área del triángulo = ½ (base) (altura) = ½ (a) (h) ⇢ (1)
De la figura, sen B = altura/c
h = c sen B ⇢ (2)
Ahora sustituya la ecuación (2) en (1),
Área del triángulo ABC = ½ (a)(c) sen B = ½ (10) (12) sen 30° [sen 30° = ½]
⇒ Área = ½ (120) ½ = 30 cm 2
Por lo tanto, el área del triángulo ABC es de 30 cm 2 .
Problema 5: Encuentra ∠ACB si a = 3 cm, c = 1 cm y ∠BAC = 60°.
Solución:
Dado, ∠BAC = 60°, a = 3 cm y c = 1 cm
De la fórmula de la regla del seno, tenemos sen A/a = sen C/c
⇒ sen 60°/3 = sen C/1 [sen 60° = √3/2]
⇒ (√3/2)/3 = sen C/3 ⇒ sen C = 1/(2√3) ⇒ sen C = 0,2887 (aproximadamente)
⇒ ∠C = sen -1 (0,2887) ⇒ ∠C = 16,77°
Por lo tanto ∠ACB = 16.77°
Problema 6: Encuentra la longitud del lado YZ, si el área del triángulo XYZ es 24 cm 2 , ∠Y = 45° y z = 4 cm.
Solución:
Dado, Área del triángulo XYZ = 24 cm 2 , ∠y = 45° y z = 4 cm
De la ley de la regla del seno, tenemos Área del triángulo XYZ = ½ (x)(z) sen Y
⇒ 24 = ½ (x)(4) sen 45° [sen 45° = 1/√2]
⇒ 24 = (x) × (2) × (1/√2)
⇒ 12√2 = x ⇒ x = 16,968 cm
Por lo tanto, la longitud del lado YZ = x = 16,968 cm
Problema 7: ¿Encuentra q cuando ∠P= 108°, ∠Q = 43° y p = 15 cm?
Solución:
Dado, ∠P = 108°, ∠Q = 43° y p = 15 cm
De la fórmula de la regla del seno tenemos, p/sen P = q/sen Q
⇒ 15/sen 108° = q/sen 43°
⇒ 15/(0.9510) = q/(0.6820) [sen 108° = 0.9510 & sen 43° = 0.6820]
⇒ q = 10.757 cm (aproximadamente)
Por lo tanto q = 10,57 cm
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Artículo escrito por kiran086472 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA