La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa del concepto de evaluación de ángulos. En su mayoría, estos ángulos se miden en un triángulo rectángulo. Las funciones trigonométricas se derivan a través de operaciones trigonométricas que se realizan con los lados y ángulos de un triángulo rectángulo respectivamente.
El artículo dado se refiere a un subtema de la trigonometría. El artículo explica la fórmula de la ley de los senos y la fórmula de la ley del coseno, y el contenido también incluye una explicación sobre las razones trigonométricas y sus valores trigonométricos con respecto a varios ángulos.
¿Qué son las razones trigonométricas?
Las razones trigonométricas son los valores de las funciones trigonométricas dados en formas numéricas y se derivan en razones con respecto a los lados y ángulos del triángulo rectángulo dado. Hay tres lados en un triángulo arectángulo a saber. hipotenusa, perpendicular y base de las que dependen las razones. Las seis funciones básicas de trigonometría que dan diferentes valores numéricos bajo diferentes ángulos son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.
Los valores trigonométricos de estas funciones bajo diferentes ángulos se dan a continuación:
| Funciones | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sinθ | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cosθ | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| bronceado | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∞ |
| cunaθ | ∞ | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
| segθ | 1 | 2√3 | √2 | 2 | ∞ |
| cosecθ | ∞ | 2 | √2 | 2√3 | 1 |
Fórmula de la ley de los senos
La fórmula de la ley de los senos o regla del seno se entiende como la relación entre los lados y los ángulos equivalentes de un triángulo dado. La fórmula de la ley de los senos generalmente se usa para evaluar los lados o ángulos desconocidos de un triángulo oblicuo.
La fórmula matemática de la ley de los senos se da como
donde, a, b y c son los lados del triángulo.
En una operación trigonométrica donde se usa la regla del seno, generalmente consideramos al menos dos ángulos del triángulo.
Derivación de la fórmula de la ley de los senos
Se considera que un triángulo rectángulo demuestra la fórmula de la regla del seno.
Entonces, supongamos un triángulo ABC con sus respectivos lados
AB = c
BC = un
y AC = b
Luego, dibuja un CD perpendicular desde la base del triángulo, es decir, AB. Por lo tanto, la altura del triángulo dado será CD = h.
Ahora, la perpendicular dibujada dividirá el triángulo en dos triángulos rectángulos que serán CDB y CDA.
Aquí, para evaluar a/b=sinA/SinB
En CDA
=>senA=h/b
Y, en CDB
=>senB=h/a
Después,
=>senA/senB=(h/b)/(h/a)
Por lo tanto,
=> SinA/sinB=a/b demostrado.
De manera similar, las otras funciones como sinB/sinC = b/c también pueden probarse con la aplicación del mismo método.
Algunas de las otras fórmulas de la regla del seno
- a:b:c = sinA:sinB:sinC
- a/b = senA/senB
- b/c = senB/senC
Fórmula de la ley del coseno
La ley del coseno o regla del coseno es la expresión que relaciona las longitudes de los lados y los cosenos de los ángulos del triángulo dado. La ley del coseno establece que “el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la diferencia entre la suma de los cuadrados de los otros lados y el doble del producto de los otros lados y el coseno del ángulo comprendido entre ellos”.
Matemáticamente, la ley del coseno se expresa como
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc. cosA
b 2 = c 2 + a 2 – 2ca. cosB
c 2 = a 2 + b 2 – 2ab. cosC
dónde,
a, b y c son las longitudes de los lados
Y, A, B y C son los ángulos.
Derivación de la ley del coseno
Supongamos un triángulo ABC con sus respectivos lados
AB = c
BC = un
y AC = b
Luego, dibuja un OB perpendicular desde la base del triángulo, es decir, AC. Por lo tanto, la altura del triángulo dado será OB=h.
Ahora, la perpendicular dibujada dividirá el triángulo en dos triángulos rectángulos que serán ABO y BOC.
Ahora, en ABO
senA=BO/AB=h/c…………..(i)
y,
cosA=AO/AB=d/c ………….(ii)
De las ecuaciones (i) y (ii) obtenemos el valor de h y d,
h=c(senA)
d=c(cos A)
Usando el teorema de Pitágoras en BOC
=>a 2 =h 2 +(bd) 2
Sustituyendo los valores de h y d, obtenemos
=>a 2 =c 2 sen 2 A+b 2 +c 2 cos 2 A-2bc. cosA
=>a 2 =c 2 (sen 2 A+cos 2 A)+b 2 -2bc.cosA
=> a 2 =c 2 +b 2 -2bc. cosA demostrado.
Del mismo modo las otras expresiones
b=c+a-2ca.cosB y
c=a+b-2ab.cosC también se puede demostrar por el mismo método.
Problemas de muestra
Problema 1: Encuentra el lado faltante de un triángulo que tiene dos lados de 12 cm y 8 cm con un ángulo entre ellos de 60 grados.
Solución:
Dado
Sean los dos lados b y c de 12 cm y 8 cm respectivamente y a sea el lado que falta.
El ángulo entre b y c es de 60°
Ahora, usando la fórmula de la ley del coseno
a 2 =b 2 +c 2 -2bc. cosA
=>a 2 =(12) 2 +(8) 2 -2(12)(8)cos60°
=>a 2 =144+64-192×0.5
=>a 2 =208-96
=>a 2 =112
=>a=10.58cm
Problema 2: Encuentra el lado faltante de un triángulo que tiene dos lados de 25 cm y 10 cm con un ángulo entre ellos de 30 grados.
Solución:
Dado
Sean los dos lados b y c de 25 cm y 10 cm respectivamente y a sea el lado que falta.
El ángulo entre b y c es de 30°.
Ahora, usando la fórmula de la ley del coseno
a 2 =b 2 +c 2 -2bc. cosA
=>a 2 =(25) 2 +(10) 2 -2(25)(10)cos30°
=>a 2 =625+100-500×0,86
=>a 2 =725-430
=>a 2 =295
=>a=17.17cm
Problema 3: Encuentra el lado faltante de un triángulo que tiene dos lados de 21 cm y 14 cm con un ángulo entre ellos de 45 grados.
Solución:
Dado
Sean los dos lados b y c de 21 cm y 14 cm respectivamente y a sea el lado que falta.
El ángulo entre b y c es de 45°.
Ahora, usando la fórmula de la ley del coseno
a 2 =b 2 +c 2 -2bc. cosA
=>a 2 =(21) 2 +(14) 2 -2(21)(14)cos45°
=>a 2 =441+196-588×.707
=>a 2 =637-415.7
=>a 2 =221.3
=>a=14.87cm
Problema 4: Encuentra el valor del lado a, si los dos ángulos son ∠A=65° y ∠B=40° y b=12cm.
Solución:
Dado
∠A=65° y ∠B=40°
Y, b=12cm
Ahora,
a/senA=b/senB
=>a/sen65°=12/sen40°
=>a/0.906=12/0.642
=>a=16,93 cm.
Problema 5: Encuentra el valor del lado a, si los dos ángulos son ∠A=72° y ∠B=60° y b=6cm.
Solución:
Dado
∠A=72° y ∠B=60°
Y, b=6cm
Ahora,
a/senA=b/senB
=>a/sen72°=6/sen60°
=>a/0.951=6/0.86
=>a=6,41 cm.
Problema 6: Encuentra el valor del lado a, si los dos ángulos son ∠A=48° y ∠B=35° y b=16cm.
Solución:
Dado
∠A=48° y ∠B=35°
Y, b=16cm
Ahora,
a/senA=b/senB
=>a/sen48°=16/sen35°
=>a/0.743=16/0.57
=>a=20.85cm.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por kumaripunam984122 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA