La suma de un número real y un número imaginario se define como un número complejo, y los números que no son números reales se llaman números imaginarios. El número se puede escribir en forma de b+ic, donde b y c son números reales e ic es un número imaginario, y «i» es una parte imaginaria que se llama iota. por lo tanto aquí el valor de i es (√-1) . entonces yo 2 =-1
Pensemos en la ecuación x 2 +16=0
Podrías reescribirlo como x²=-16. Sin embargo, dado que el cuadrado de todo número real es positivo o cero, no existe ningún número real con un cuadrado de -16. Este es un ejemplo de una ecuación cuadrática que, hasta ahora, habría clasificado como «sin raíces reales».
La existencia de tales ecuaciones fue reconocida durante cientos de años, de la misma manera que los matemáticos griegos habían aceptado que x 2 + 16 = 0 no tenía solución, el concepto de número negativo aún no se había desarrollado. El sistema numérico se ha expandido a medida que los matemáticos aumentaron la gama de problemas matemáticos que querían abordar.
Puedes resolver la ecuación x 2 +16=0 extendiendo el sistema numérico para incluir un nuevo número, i (a veces escrito como j). Este tiene la propiedad de que i 2 = -1 y sigue las leyes usuales del álgebra, i se llama número imaginario .
La raíz cuadrada de cualquier número negativo se puede expresar en términos de i. Por ejemplo, la solución de la ecuación x 2 = -16 es x = ±√-16. Esto se puede escribir como
±√16 * √-1 que se simplifica a ±4i.
Ejemplo: Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación cuadrática z 2 – 6z + 58 = 0, simplificando tu respuesta tanto como sea posible.
Solución:
z 2 – 6z + 58 = 0 (Usando la fórmula cuadrática con a = 1,b = -6 y c = 58)
z = (6 ±√((-6) 2 – 4*1*58)) / (2*1)
z = (6 ±√(-196)) / 2 (como √-196 = √196 * √-1 = 14i) (también √196 = 14)
z = (6 ± 14i) / 2
z = 3 ± 7i
Habrás notado que las raíces 3 + 7i y 3 – 7i de la ecuación cuadrática z 2 – 6z + 58 = 0 tienen tanto una parte real como una parte imaginaria.
Si consideramos el número complejo z = 3 + 7i entonces 3 se llama parte real de z ie Re(z) y 7 se llama parte imaginaria de z ie Im(z).
Notación
Cualquier número z de la forma x + yi, donde x e y son reales, se llama número complejo . La letra z se usa comúnmente para números complejos, y también se usa w . En esto
capítulo, un número complejo z a menudo se denota por x + yi, pero a veces se usan otras letras, como a + bi.
x se llama la parte real del número complejo, denotada por Re(z ) ey se llama la parte imaginaria, denotada por Im(z) .
Trabajando con números complejos
Los métodos generales para la suma, resta y multiplicación de números complejos son sencillos.
Suma
Suma la parte real con la parte real y suma la parte imaginaria con la parte imaginaria.
Por ejemplo, (3 + 4i) + (2 – 8i) = (3 + 2) + (4 – 8)i
= 5 – 4i
Sustracción
Resta la parte real con la parte real y resta la parte imaginaria con la parte imaginaria.
Por ejemplo, (6 – 9i) – (1 + 6i) = 5 – 15i
Multiplicación
Multiplica los números complejos usando la propiedad distributiva de la multiplicación.
Por ejemplo
(7 + 2i) (3 – 4i) = 21 – 28i + 6i – 8i 2
= 21 – 22i – 8(-1) (como i 2 = -1)
= 29 – 22i
Conjugados complejos
El complejo conjugado de un número complejo es otro número complejo cuya parte real es igual al número complejo original y cuya parte imaginaria tiene la misma magnitud con signos opuestos. Los números complejos son de la forma a + ib. Donde a y b son números reales, a se llama parte real de a+ib e ib se llama parte imaginaria de a+ib.
El complejo conjugado de a + ib con la parte real “ a ” y la parte imaginaria “ ib ” está dado por a – ib con la parte real “ a ” y la parte imaginaria “ -ib ”. a – ib es un reflejo de a + ib centrado en el eje real (eje X) del plano de Argand. Los conjugados complejos de números complejos se utilizan para racionalizar números complejos.
El producto de un número complejo y su conjugado complejo es igual al cuadrado de la magnitud del número complejo que da un número real, es decir
zz*= |z| 2 = √( x2 + y2 )
Ejemplo: Encuentra el complejo conjugado del número complejo 3z + iw, si z = 1 – i y w = 2 – i.
Solución:
Primero simplificaremos 3z + iw = 3(1 – i) + i( 2 – i) = 3 – 3i + 2i + 1 = 4 – i
Para determinar el complejo conjugado de 3z + iw = 4 – i, cambiaremos el signo de i.
Por lo tanto, el complejo conjugado de 4 – i es 4 + i.
Igualdad de números complejos
Dos números complejos z = x + yi y w = u + vi son iguales si tanto x = u como y = v.
Si x ≠ u o y ≠ v, o ambos, entonces z y w no son iguales. Puede sentir que esto es obvio, pero es interesante comparar esta situación con la igualdad de los números racionales.
Para que dos números complejos sean iguales las partes reales deben ser iguales y las partes imaginarias deben ser iguales. Usar este resultado se describe como equiparar partes reales e imaginarias , como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Los números complejos z 1 y z 2 están dados por
z1 = (3 – a) + (2b – 4) i
z2 = (7b – 4) + (3a – 2)i.
Dado que z 1 y z 2 son iguales, encuentre los valores de a y b.
Solución:
Aquí, si igualamos la parte real de z 1 y z 2 entonces
3 – a = 7b – 4 ⇒ 7b + a = 7 (1)
y si igualamos la parte imaginaria de z 1 y z 2 entonces
2b – 4 = 3a – 2 ⇒ 3a – 2b = -2 (2)
resolviendo (1) y (2) por el método de eliminación, obtenemos
a = 0 y b = 1
Ejemplo: Dado que = 3 + 5i, encuentra
(i) z + 
(Aquí 
= a – ib que se llama Conjugado de z)
(ii) z×
Solución:
z= 3 + 5i,
entonces \bar{z} = 3-5i
(i) z +
(ii) z×
=9 + 25
= 34
Puede ver en el ejemplo anterior que z + y z son reales. Este es un ejemplo de un importante general
Resultado importante:
Que la suma de dos complejos conjugados es real y que su producto también es real.
Dividir números complejos
Probablemente ya sepas que puedes escribir una expresión como 2 / (3 – √2) como una fracción con un denominador racional al multiplicar el numerador y el denominador por 3 + √2.
2 / (3 – √2) = ( 2 / (3 – √2)) * (3 + √2)/(3 + √2)
= (6 + 2√2) / (9 – 2)
= (6 + 2√2) / 7
Debido a que z siempre es real, puede usar un método similar para escribir una expresión como 2 / (3 – 5i) como una fracción con un denominador real, multiplicando el numerador
y denominador por 3+ 5i. (ya que 3 + 5i es el complejo conjugado de 3 – 5i)
Esta es la base para dividir un número complejo entre otro.
Ejemplo: Encuentra las partes real e imaginaria de 1/(3 + i).
Solución
Multiplica el numerador y el denominador por 3 – i
(Como 3 – i es el conjugado del denominador 3 + i)
1/( 3 + i) = ( 3 – i) / [( 3 + i)( 3 – i]
= (3 – yo) / (9 + 1)
= (3 – yo) / 10
La parte real es 3/10 y la parte imaginaria es -1/10.
Módulo y Argumento de números complejos
La siguiente figura muestra el punto que representa z = x + iy en un diagrama de argand.
La distancia de este punto al origen es √x² + y².
Esta distancia se llama módulo de z y se denota por |z|.
Entonces, para el número complejo z = x + yi,
|z| = √x² + y² .
Observe que z\bar{z} = (x + iy)(x – iy) = x² + y², entonces |z| = z×\bar{z}
El argumento, es decir, el ángulo θ, se mide en sentido antihorario desde el eje real positivo. Por convención, el argumento se mide en radianes.
Arg z (θ) = tan¯ 1 (b/a).
Forma módulo-argumento / Forma polar de un número complejo
En la siguiente figura, puedes ver la relación entre los componentes de un número complejo y su módulo y argumento.
Usando trigonometría, puedes ver que senθ = y/r y entonces y = rsinθ .
De manera similar, cosθ = x/r entonces x = rcosθ.
Por lo tanto, el número complejo z = x + yi se puede escribir
z = r cosθ + r senθ yo
o
z = r (cosθ + i senθ)
Esto se denomina forma de argumento de módulo / forma polar del número complejo y, a veces, se escribe como (r, θ).
Problemas de muestra
Pregunta 1: Resuelve la ecuación (2 + 3i)z = 9 – 4i.
Solución:
Tenemos (2 + 3i)z = 9 – 4i
⇒ z = (9 – 4i) / (2 + 3i)
= [(9 – 4i) / (2 + 3i)] * [(2 – 3i)(2 – 3i)]
= (18 – 27i – 8i + 12i 2 ) / (4 – 6i + 6i – 9i 2 )
= (6 – 35i) / 13
= (6 / 13) – (35 / 13)i
Pregunta 2: Encuentra las partes real e imaginaria de 1/(5 + 2i).
Solución:
Multiplica el numerador y el denominador por 5 – 2i
(Como 5 – 2i es el conjugado del denominador 5 + 2i)
1/(5 + 2i) = (5 – 2i) / [(5 + 2i)(5 – 2i)]
= (5 – 2i) / (25 + 4)
= (5 – 2i) / 29
La parte real es 5/29 y la parte imaginaria es -2/29.
Pregunta 3: Escriba los siguientes números complejos en la forma de módulo-argumento
(yo) z 1 = √3 + 3i
(ii) z 2 = √3 – 3i
Solución:
(i) Para z 1 = √3 + 3i , tenemos
módulo |z 1 | = √(√3) 2 + (3) 2 = 2√3
θ = tan¯ 1 (3 / √3 ) = π / 3
⇒ argumento z 1 = π / 3
entonces, z 1 = 2√3(cos(π / 3) + i sin(π / 3))
(ii) Para z 2 = √3 – 3i, tenemos
módulo |z 2 | = √(√3) 2 + (3) 2 = 2√3
θ = tan¯ 1 (-3 / √3 ) = -π / 3
⇒ argumento z 2 = -π / 3
entonces, z 2 = 2√3(cos(-π / 3) + i sin(-π / 3))
Pregunta 4: Para el número complejo dado, encuentra el argumento del número complejo, dando tus respuestas en radianes en forma exacta o hasta 3 significativas
figuras según corresponda.
(yo) z 1 = −5+ yo
Solución:
θ 1 = tan¯ 1 (1/5) = 0.1973…
entonces arg z 1 = π – 0.1973… = 2.94 (3 pies cuadrados)
Pregunta 5: Exprese el número complejo dado (-4) en la forma polar.
Solución:
Dado, el número complejo es -4, es decir, z = -4 +0 i
Sea r cos θ = -4 …(1)
y r sen θ = 0 …(2)
Ahora, elevando al cuadrado y sumando (1) y (2), obtenemos
r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ = (-4) 2
r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = 16
Sabemos que, cos 2 θ + sen 2 θ = 1, entonces la ecuación anterior se convierte en,
r2 = 16
r = 4 (Convencionalmente, r > 0)
Ahora, sustituimos el valor de r en (1) y (2), obtenemos
4 cos θ = -4 y 4 sen θ = 0
⇒ cos θ = -1 y sen θ = 0
Por lo tanto, θ = π
Por lo tanto, la representación polar es,
-4 = r cos θ + ir sen θ
4 cos π + 4i sen π = 4(cos π + i sen π)
Por tanto, la forma polar requerida es 4 cos π+ 4i sen π = 4(cos π+i sen π).