El ortocentro viene bajo el concepto de Geometría. El término orto significa derecho y se considera que es el punto de intersección de las tres alturas dibujadas desde los vértices de un triángulo. El ortocentro es el punto de intersección de todas las alturas de un triángulo.
Fórmula de ortocentro
El ortocentro es el punto en un triángulo donde se encuentran las alturas. Las alturas son líneas perpendiculares desde un lado del triángulo hasta el vértice opuesto. En el siguiente diagrama, el ortocentro se denota con la letra «O» y las altitudes son AE, BF, CD y los vértices son A, B, C.
No existe una fórmula particular para calcular el ortocentro de un triángulo. Pero puede averiguarlo siguiendo los pasos a continuación:
- Encuentra la pendiente de los lados del triángulo.
Pendiente de un lado = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
Donde (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) son extremos del lado.
- Para encontrar la pendiente de altitud que es perpendicular a los lados del triángulo se puede calcular mediante,
Pendiente perpendicular de una recta (Altitud) = -1/(Pendiente de un lado)
- Para calcular la ecuación de la altitud, la fórmula punto-pendiente es,
(y – y 1 ) = metro × (x – x 1 )
Entonces, al encontrar dos pendientes y la ecuación de altitudes, el ortocentro se puede calcular resolviendo esas ecuaciones.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Encuentra la pendiente de la línea entre dos puntos A(1, 10), B(5, 5).
Solución:
Dado A(1, 10), B(5, 5)
Pendiente de la recta AB = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
= (5 – 10)/(5 – 1)
= -5/4
Pendiente de la recta AB = -5/4
Pregunta 2: Encuentra la pendiente de la línea entre dos puntos A(5, 4), B(-1, 2).
Solución:
Dado A(5, 4), B(-1, 2)
Pendiente de la recta AB = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
= (2 – 4)/(-1 – 5)
= -2/-6
= 1/3
Pendiente de la línea AB = 1/3
Pregunta 3: ¿Encuentra la pendiente perpendicular de AB si la pendiente de AB es -5/4?
Solución:
Dada la pendiente de AB = -5/4
Pendiente perpendicular de AB = -1/Pendiente de AB
= -1/(-5/4)
= 4/5
La pendiente perpendicular de AB es 4/5.
Pregunta 4: Encuentra el ortocentro del triángulo cuando los vértices son A(1, 0), B(3, 1), C(2, 3).
Solución:
Vértices dados:
A(1, 0), B(3, 1), C(2, 3)
Pendiente de AB = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
= (1 – 0)/(3 – 1)
= 1/2
Pendiente de CD = Pendiente perpendicular de AB
= -1/Pendiente de AB
= -1/(1/2)
= -2
La ecuación de cd es
(y – y 1 ) = metro × (x – x 1 )
(y – 3) = -2 × (x – 2)
y-3 = -2x + 4
2x + y – 3 – 4 = 0
2x + y – 7 = 0 ⇢ (1)
Pendiente de AC = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
= (3 – 0)/(2 – 1)
= 3
Pendiente de BF = Pendiente perpendicular de AC
= -1/Pendiente de CA
= -1/3
La ecuación de BF es,
(y – y 1 ) = metro × (x – x 1 )
(y – 1) = (-1/3) × (x – 3)
3(y-1) = -1(x-3)
3y – 3 = -x + 3
x + 3y – 6 = 0 ⇢ (2)
Resuelva la ecuación (1) y (2)
(1) × 1 => 2x + y – 7 = 0
(2) × 2 => 2x + 6y – 12 = 0
-5y + 5 = 0
-5y = -5
y = 1
Sustituye el valor de y en la ecuación – (1)
2x + y – 7 = 0
2x + 1 – 7 = 0
2x = 6
x = 3
Ortocentro es O(3, 1)
Pregunta 5: Encuentra el ortocentro del triángulo cuando los vértices son A(0, 0), B(2, -1), C(1, 3).
Solución:
Vértices dados:
A(0, 0), B(2, -1), C(1, 3)
Pendiente de AB = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
= (-1 – 0)/(2 – 0)
= -1/2
Pendiente de CD = Pendiente perpendicular de AB
= -1/Pendiente de AB
= -1/(-1/2)
= 2
La ecuación de CD es,
(y – y 1 ) = metro × (x – x 1 )
(y-3) = 2 × (x-1)
y-3 = 2x-2
2x – y + 1 = 0 ⇢ (1)
Pendiente de AC = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
= (3 – 0)/(1 – 0)
= 3
Pendiente de BF = Pendiente perpendicular de AC
= -1/Pendiente de CA
= -1/3
La ecuación de BF es,
(y – y 1 ) = metro × (x – x 1 )
(y – (-1)) = (-1/3) × (x – 2)
3(y+1) = -1(x-2)
3y + 3 = -x + 2
x + 3y + 1 = 0 ⇢ (2)
Resuelva la ecuación (1) y (2)
(1) × 1 => 2x – y + 1 = 0
(2) × 2 => 2x + 6y + 2 = 0
-7y – 1 = 0
-7y = 1
y = -1/7
Sustituye el valor de y en la ecuación-(1)
2x – y + 1 = 0
2x – (-1/7) + 1 = 0
2x + (1/7) + 1 = 0
2x = -1 – (1/7)
2x = (-7 – 1)/7
x = -8/14
x = -4/7
El ortocentro para los datos dados es O(-4/7, -1/7)
Pregunta 6: Encuentra el ortocentro del triángulo cuando los vértices son A(3, 2), B(0, 3), C(-2, 1)
Solución:
Vértices dados:
A(3, 2), B(0, 3), C(-2, 1)
Pendiente de AB = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
= (3 – 2)/(0 – 3)
= -1/3
Pendiente de CD = Pendiente perpendicular de AB
= -1/Pendiente de AB
= -1/(-1/3)
= 3
La ecuación de CD es,
(y – y 1 ) = metro × (x – x 1 )
(y – 1) = 3 × (x + 2)
y-1 = 3x + 6
3x – y + 7 = 0 ⇢ (1)
Pendiente de AC = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
= (1 – 2)/(-2 – 3)
= -1/-5
= 1/5
Pendiente de BF = Pendiente perpendicular de AC
= -1/Pendiente de CA
= -1/(1/5)
= -5
La ecuación de BF es
(y – y 1 ) = metro × (x – x 1 )
(y – 3) = (-5) × (x – 0)
y-3 = -5x
5x + y – 3 = 0 ⇢ (2)
Resuelva la ecuación (1) y (2)
(1) × 1 => 3x – y + 7 = 0
(2) × 1 => 5x + y – 3 = 0
8x + 4 = 0
8x = -4
x = -4/8
x = -1/2
Sustituye el valor de x en la ecuación-(1)
3x – y + 7 = 0
3(-1/2) – y + 7 = 0
(-3/2) – y + 7 = 0
y = 7 – (3/2)
y = (14 – 3)/2
y = 11/2
El ortocentro para los datos dados es O(-1/2, 11/2)
Pregunta 7: Encuentra la ecuación de una línea si la pendiente y un punto de datos son -1/2, (3, 3) respectivamente.
Solución:
Dado (x 1 , y 1 ) = (3, 3)
Pendiente (m) = -1/2
La ecuación de la línea es,
(y – y 1 ) = metro × (x – x 1 )
(y – 3) = (-1/2) × (x – 3)
2(y-3) = -1(x-3)
2y – 6 = -x + 3
x + 2y – 9 = 0
La ecuación de la línea para la pendiente y el punto de datos dados es x + 2y – 9 = 0.
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Artículo escrito por akhilvasabhaktula03 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA