Fórmula de sección

Las cantidades físicas se dividen en dos categorías: cantidades escalares y vectoriales. Las cantidades que solo tienen magnitud y no una dirección fija se llaman cantidades escalares . P.ej. Masa, volumen, densidad, etc. Cantidades que tienen tanto magnitud como dirección. Tales cantidades se denominan cantidades vectoriales o vectores. P.ej. Desplazamiento, velocidad, aceleración, cantidad de movimiento, etc.

Los vectores están representados por segmentos de línea que están dirigidos, como la dirección de una flecha marcada en un extremo, que denota dirección y la longitud del segmento de línea es la magnitud del vector. P.ej. $\overrightarrow{AB}$

Denota dos puntos A y B, tales que la magnitud del vector es la longitud de la línea recta AB y su dirección es de A a B. Aquí, el punto A se llama el punto inicial del vector $\overrightarrow{AB}$ y el punto B se llama el terminal punto (o punto final).

La magnitud o módulo de un vector \overrightarrow{AB} es un número positivo (>0) que es la medida de su longitud y se denota por |\overrightarrow{AB}|.

Tipos de vectores

vector cero

Un vector cuyos puntos inicial y terminal (extremo) coinciden entre sí se denomina vector cero (o vector nulo) y se denota como $\overrightarrow{0}$ . Al vector cero no se le puede asignar una dirección definida ya que tiene magnitud cero. O, en otras palabras, puede definirse como si tuviera cualquier dirección.

Los vectores $\overrightarrow{AA}$ , $\overrightarrow{BB}$ representan el vector cero.

Vector unitario

Un vector cuya magnitud es la unidad (=1) se llama vector unitario . El vector unitario $\overrightarrow{a}$ se denota por $\hat{a}$

y $|\hat{a}|$ = 1

Vectores Coiniciales

Dos o más vectores que tienen el mismo punto inicial o punto de partida se denominan vectores coiniciales.

Vectores colineales

Si dos o más vectores son paralelos entre sí, independientemente de sus magnitudes y direcciones. Entonces se llamarán vectores colineales.

Vectores iguales

Si dos vectores $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ tienen la misma magnitud y dirección independientemente de las posiciones de sus puntos iniciales se llamarán vectores iguales, y se puede representar como $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$

Negativo de un vector

Un vector cuya magnitud (longitud) es igual a la del vector dado (digamos $\overrightarrow{AB}$ ) pero la dirección es opuesta a la de él (los puntos inicial y terminal están invertidos), se llama negativo del vector dado.

Por ejemplo, vector $\overrightarrow{BA}$ es negativo del vector $\overrightarrow{AB}$ y se escribe como, $\overrightarrow{BA} = - \overrightarrow{AB}$

Vector de posición

Considere un punto P en el espacio 3D, con coordenadas como (x, y, z) con respecto al origen O (0, 0, 0). Y, el vector $\overrightarrow{OP}$ que tiene O como punto inicial y P como punto terminal se llama vector de posición del punto P con respecto a O.

Usando la fórmula de la distancia, la magnitud (o longitud) de $\overrightarrow{OP}$ es

$|\overrightarrow{OP}|$ = $\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}$

$|\overrightarrow{OP}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Nota: La definición de vector definida anteriormente es un tipo de vector que puede estar sujeto a su desplazamiento paralelo sin cambiar su magnitud y dirección. Dichos vectores se denominan vectores libres.

Suma de vectores

Un vector $\overrightarrow{AB}$ simplemente denota el desplazamiento de cualquier cosa desde el punto A al punto B.

Ley del triángulo de la suma de vectores

Considere una situación en la que una persona se mueve de A a B y luego de B a C. El desplazamiento neto realizado por la persona del punto A al punto C está dado por el vector y expresado como

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

Esto se conoce como la ley del triángulo de la suma de vectores .

Como, $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA}$

$- \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = 0$

Cuando los lados de un triángulo se toman en orden, conduce a cero resultante (sin resultado de desplazamiento) ya que los puntos inicial y terminal coinciden entre sí.

Ley del paralelogramo de la suma de vectores

Si dos vectores $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ están representados en magnitud y dirección por los dos lados adyacentes del paralelogramo, entonces su suma ( $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ ) $\overrightarrow{c}$ está representada por las diagonales del paralelogramo dado que es coinicial con los vectores dados $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ .

Ahora, consideremos el paralelogramo ABCD

donde, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}$

entonces usando la ley del triángulo de la suma de vectores, del triángulo ABC, tenemos

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}$ ………………….(1)

Ahora bien, como los lados opuestos de un paralelogramo son iguales y paralelos

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}$

Nuevamente usando la ley del triángulo de la suma de vectores, del triángulo ADC, tenemos

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b} +\overrightarrow{a}$ ………………………….(2)

De (1) y (2), obtenemos la propiedad conmutativa

$\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} +\overrightarrow{a}$

Nota: La magnitud $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}$ no es igual a la suma de la magnitud (longitud) de $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ . $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \neq |\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}|$

(ii) Propiedad asociativa

Usando la ley del triángulo, del triángulo PQR, tenemos

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{PQ} +\overrightarrow{QR}$

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}$

Usando la ley del triángulo, del triángulo QRS, tenemos

$\overrightarrow{QS} = \overrightarrow{QR} +\overrightarrow{RS}$

$\overrightarrow{QS} = \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}$

Usando la ley del triángulo, del triángulo PRS, tenemos

$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{PR} +\overrightarrow{RS}$

$\overrightarrow{PS} = (\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}$

Usando la ley del triángulo, del triángulo PQS, tenemos

$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{PQ} +\overrightarrow{QS}$

$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{a} +(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

Por eso,

$(\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} +(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

(iii) Identidad aditiva

Para cualquier vector $\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}$

(iv) Inverso aditivo

Para cualquier vector $\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{a} + (\overrightarrow{-a}) =0 = (\overrightarrow{-a}) + \overrightarrow{a}$

Problema 1: Si $\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{QO} + \overrightarrow{OR}$ , demuestre que los puntos P, Q y R son colineales.

Solución:

Tenemos,

$\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{QO} + \overrightarrow{OR}$

Usando, a la inversa de la ley del triángulo de la suma de vectores, obtenemos

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{QR}$

$\overrightarrow{PQ}$ y $\overrightarrow{QR}$ ae paralelo o colineal. Pero, Q es un punto común a ellos.

Entonces, $\overrightarrow{PQ}$ y $\overrightarrow{QR}$ son colineales. Por tanto, los puntos P, Q, R son colineales.

Problema 2: B, P, Q, R y A son cinco puntos en un plano. Demuestre que la suma de los vectores $\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AQ}, \overrightarrow{AR}, \overrightarrow{PB}, \overrightarrow{QB}$ y $\overrightarrow{RB}$ en 3 $\overrightarrow{AB}$ .

Solución:

Usando la suma de vectores de la ley del triángulo en △APB

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB}$ ……………(1)

Usando la suma de vectores de la ley del triángulo en △AQB

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{QB}$ …………………..(2)

Usando la suma de vectores de la ley del triángulo en △ARB

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AR} + \overrightarrow{RB}$ …………….(3)

Sumando (1), (2) y (3), obtenemos

$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{QB}+\overrightarrow{AR} + \overrightarrow{RB}=3\hspace{0.1cm}\overrightarrow{AB}$

Por lo tanto, la suma de los vectores es 3 $\overrightarrow{AB}$

Problema 3: Sea O el centro de un hexágono regular CDEFAB. Encuentre la suma de los vectores $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OE}$ y $\overrightarrow{OF}$ .

Solución:

Como establece la propiedad del hexágono, el centro de un hexágono regular biseca todas las diagonales que lo atraviesan.

Asi que,

$\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OE}$ y $\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OF}$

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=0$ ………………..(1)

$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}=0$ …………………..(2)

$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OF}=0$ …………………..(3)

Sumando (1), (2) y (3), obtenemos

$\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}+ \overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{OE}+ \overrightarrow{OF} = 0$

Aquí, los puntos P y Q son los dos puntos representados por los vectores de posición $\overrightarrow{OP}$ y $\overrightarrow{OQ}$ , respectivamente, con respecto al origen O. Entonces el segmento de recta que une los puntos P y Q se puede dividir por un tercer punto, aquí decimos R, de dos maneras de la siguiente manera:

Aquí, pretendemos encontrar el vector de posición $\overrightarrow{OR}$ para el punto R con respecto al origen O. Tomamos los dos casos uno por uno.

Internamente

Cuando R divide a PQ internamente. Si R divide $\overrightarrow{PQ}$ tal que

$\frac{\overrightarrow{PR}}{\overrightarrow{RQ}} = \frac{m}{n}$

donde m y n son valores positivos, especificamos que el punto R se divide $\overrightarrow{PQ}$ internamente en la razón de m : n.

Ahora de los triángulos ORQ y OPR, tenemos

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{r} - \overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{RQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{r}$

Por lo tanto, podemos concluir que,

metro $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{r})$ = norte $(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{a})$

Por simplificación, obtenemos

$\mathbf{\overrightarrow{r} = \frac{m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{a}}{m+n}}$

Cuando R es el punto medio PQ

entonces m = norte

Entonces, obtenemos

$\mathbf{\overrightarrow{r} = \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}}{2}}$

Externamente

Cuando R divide a PQ externamente. Si R divide $\overrightarrow{PQ}$ tal que

$\frac{\overrightarrow{PR}}{\overrightarrow{QR}} = \frac{m}{n}$

donde myn son valores positivos, decimos que el punto R se divide $\overrightarrow{PQ}$ externamente en la razón de m : n.

Ahora de los triángulos ORQ y OPR, tenemos

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{r} - \overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{RQ} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{r} - \overrightarrow{b}$

Por lo tanto, podemos concluir que,

$m (\overrightarrow{r} - \overrightarrow{b}) = n (\overrightarrow{r} - \overrightarrow{a})$

$m\overrightarrow{r} - n\overrightarrow{r} = m\overrightarrow{b} - n\overrightarrow{a}$

$(m-n) \overrightarrow{r} = m\overrightarrow{b} - n\overrightarrow{a}$

Por simplificación, obtenemos

$\mathbf{\overrightarrow{r} = \frac{m\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{a}}{m-n}}$

Problema 1: Encuentra los vectores de posición de los puntos que dividen la unión de los puntos interna $2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$ y $3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$ externamente en la razón 2 : 3.

Solución:

Sean A y B los puntos dados con los vectores de posición $2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$ y $3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$ respectivamente.

Sea P dividiendo el $\overrightarrow{AB}$ en la razón 2 : 3 internamente

m = 2 y n = 3

Usando fórmula de sección interna,

Vector de posición de P = $\frac{m(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})+n(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})}{m+n}$

Vector de posición de P = $\frac{3(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})+2(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})}{2+3}$

Vector de posición de P = $\frac{6\overrightarrow{a}-9\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}}{5}$

Vector de posición de P = $\frac{12\overrightarrow{a}}{5}-\frac{13\overrightarrow{b}}{5}$

Ahora, sea P el que divida $\overrightarrow{AB}$ en la razón 2 : 3 externamente

m = 2 y n = 3

Usando fórmula de sección externa,

Vector de posición de P = $\frac{m(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})-n(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})}{m-n}$

Vector de posición de P = $\frac{3(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})-2(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})}{3-2}$

Vector de posición de P = $\frac{6\overrightarrow{a}-9\overrightarrow{b}-6\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}}{1}$

Vector de posición de P = $-5\overrightarrow{b}$

Problema 2: Si $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ son vectores de posición de los puntos A y B respectivamente, entonces encuentre el vector de posición de los puntos de trisección de AB.

Solución:

Sean P y Q puntos de trisección. Entonces, AP = PQ = QB = k (variable constante)

PB = PQ + QB = k + k = 2k

$\frac{AP}{PB} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$

P divide a AB en la razón 1 : 2

Usando fórmula de sección interna, donde m=1 y n=2

Vector de posición de P = $\frac{m(\overrightarrow{b})+n(\overrightarrow{a})}{m+n}$

Vector de posición de P = $\frac{1(\overrightarrow{b})+2(\overrightarrow{a})}{1+2}$

Vector de posición de P = $\frac{\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}}{3}$

Ahora, podemos ver claramente que Q es el punto medio de PB.

Aplique la fórmula de la sección del punto medio que tenemos,

Vector de posición de Q = $\frac{\frac{\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}}{3}+\overrightarrow{b}}{2}$

Vector de posición de Q = $\frac{4\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}}{6}$

Vector de posición de Q = $\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}$

Problema 3: Si D es el punto medio del lado BC de un triángulo ABC, demuestre que $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2 \overrightarrow{AD}$

Solución:

Sea A el origen aquí y los vectores de posición de B y C sean $\overrightarrow{b}$ y $\overrightarrow{c}$ respectivamente.

Como D es el punto medio de BC.

$2 \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC}$

Aplicando la fórmula de la sección del punto medio, obtenemos

Vector de posición de D = $\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$

Como, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2 (\frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{2})$

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2 (\overrightarrow{AD})$

Por lo tanto, Probado!!

Componentes de un vector

Tomemos los puntos A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) y C(0, 0, 1) en el eje x, eje y y eje z, respectivamente. Después,

$|\overrightarrow{OA}|$ = 1, $|\overrightarrow{OB}|$ = 1 and $|\overrightarrow{OC}|$ = 1

Los vectores, $|\overrightarrow{OA}|$ , $|\overrightarrow{OB}|$ y $|\overrightarrow{OC}|$ tienen magnitud la unidad o 1, que se denominan vectores unitarios a lo largo de los ejes OX, OY y OZ, respectivamente, y se denotan por $\hat{i}$ , $\hat{j}$ y $\hat{k}$ respectivamente.

Consideremos el vector de posición $\overrightarrow{OP}$ de un punto P(x, y, z). Sea P ₁ el pie de la perpendicular desde P en el plano XY.

Por lo tanto, vemos que P ₁ P es paralelo al eje z. Como $\hat{i}$ , $\hat{j}$ y $\hat{k}$ son los vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente, y por la definición de las coordenadas de P, tenemos

$\overrightarrow{P_1P} = \overrightarrow{OR} = z\hat{k}$

$\overrightarrow{QP_1} = \overrightarrow{OS} = y\hat{j}$

$\overrightarrow{OQ} = x\hat{i}$

Usando la ley del triángulo, del triángulo OQP ₁ , tenemos

$\overrightarrow{OP_1} = \overrightarrow{OQ} +\overrightarrow{QP_1} = x\hat{i}+y\hat{j}$

Usando la ley del triángulo, del triángulo OP ₁ P, tenemos

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_1} +\overrightarrow{P_1P}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$

Por lo tanto, el vector de posición de P con referencia a O es el siguiente:

$\overrightarrow{OP} (or\overrightarrow{r})=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$

Longitud

La longitud del vector $\overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ ,

OP ₁² = OQ ² + QP ₁² (usando el teorema de Pitágoras)

OP1 ² = x ² + y ²

y en el triángulo rectángulo OP ₁ P, tenemos

OP ² = OP ₁² + PP ₁²

OP ² = x ² + y ² + z ²

OP = $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Por lo tanto, la longitud del vector $\overrightarrow{r}=|\overrightarrow{r}|=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|$ $= \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Si $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ son dos vectores como $\overrightarrow{a} = a_1\hat{i}+b_1\hat{j}+c_1\hat{k}$ y $\overrightarrow{b} = a_2\hat{i}+b_2\hat{j}+c_2\hat{k}$ entonces,

Suma

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = (a_1+a_2)\hat{i}+(b_1+b_2)\hat{j}+(c_1+c_2)\hat{k}$

Diferencia

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} = (a_1-a_2)\hat{i}+(b_1-b_2)\hat{j}+(c_1-c_2)\hat{k}$

Los vectores $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ , si y si

un ₁ = un ₂ , segundo ₁ = _{segundo 2} y c ₁ = c ₂

La multiplicación del vector por cualquier escalar k viene dada por

$k\overrightarrow{a} = (ka_1)\hat{i}+(kb_1)\hat{j}+(kc_1)\hat{k}$

Vector que une dos puntos

Si P(x ₁ , y ₁ , z ₁ ) y Q(x ₂ , y ₂ , z ₂ ) son dos puntos cualesquiera, entonces el vector que une P y Q es el vector $\overrightarrow{PQ}$

Uniendo los puntos P y Q con el origen O, y aplicando la ley del triángulo, del triángulo OPQ, tenemos

$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}$

Usando las propiedades de la suma de vectores, la ecuación anterior se convierte en

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$

$\overrightarrow{PQ}=(x_2\hat{i}+y_2\hat{j}+z_2\hat{k})-(x_1\hat{i}+y_1\hat{j}+z_1\hat{k})$

$\overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1)\hat{i}+(y_2-y_1)\hat{j}+(z_2-z_1)\hat{k}$

Por lo tanto, la magnitud de $\overrightarrow{PQ}$ es la siguiente:

$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

Problema 1: Encuentra el valor de x, y y z para que los vectores $\overrightarrow{a} = x\hat{i}+2\hat{j}+z\hat{k}$ y $\overrightarrow{b} = 2\hat{i}+y\hat{j}+\hat{k}$ sean iguales.

Solución:

Dos vectores $\overrightarrow{a} = a_1\hat{i}+b_1\hat{j}+c_1\hat{k}$ y $\overrightarrow{b} = a_2\hat{i}+b_2\hat{j}+c_2\hat{k}$ son iguales iff

un ₁ = un ₂ , segundo ₁ = _{segundo 2} y c ₁ = c ₂

Por lo tanto, los valores de x = 2, y = 2 y z =1.

Problema 2: Encuentra la magnitud del vector $\overrightarrow{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k}$

Solución:

Como, tenemos $\overrightarrow{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k}$

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2+(-2)^2+6^2}$

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{49}$ = 7

Problema 3: Encuentra el vector unitario del vector dado como $3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}$

Solución:

Dejar, $\overrightarrow{a} = 3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}$

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2+(-6)^2+2^2}$

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{49}$ = 7

Entonces, el vector unitario en la dirección de $\overrightarrow{a}$ está dado por,

$\hat{a} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$

$\hat{a} = \frac{3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}}{7}$

$\hat{a} = \frac{3}{7}\hat{i}-\frac{6}{7}\hat{j}+\frac{2}{7}\hat{k}$

Problema 4: Encuentra el vector unitario del vector dado como $\overrightarrow{PQ}$ , donde los puntos P(1,2,3) y Q(4,5,6).

Solución:

Vector de posición de P(1,2,3) = $\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$

Vector de posición de Q(4,5,6) = $4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}$

$\overrightarrow{PQ}$ = $\overrightarrow{Q}$ – $\overrightarrow{P}$

$\overrightarrow{PQ} = (4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$

$\overrightarrow{PQ} = 3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}$

Ahora, la magnitud de $\overrightarrow{PQ}$

$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{3^2+3^2+3^2}$

$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{27}$ = 3√3

Entonces, el vector unitario en la dirección de $\overrightarrow{PQ}$ está dado por,

$\hat{PQ} = \frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|}$

$\hat{PQ} = \frac{3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}}{3\sqrt{3}}$

$\hat{PQ} = \frac{\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}}$

Problema 5: Demostrar que el vector $2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$ y $-4\hat{i}+6\hat{j}-8\hat{k}$ son colineales.

Solución:

Deja, $\overrightarrow{a} = 2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$ y $\overrightarrow{b} = -4\hat{i}+6\hat{j}-8\hat{k}$

Como podemos ver

$\overrightarrow{b} = -4\hat{i}+6\hat{j}-8\hat{k} = -2 (2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})$

Esto implica,

$\overrightarrow{b} = -2 \overrightarrow{a}$

Por lo tanto, $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ son colineales.

Problema 6: si A(2,0,0), B(0,1,0), C (0,0,2) tienen vectores de posición, demuestre que △ABC es un triángulo isósceles.

Solución:

Vector de posición de A(2,0,0) = $2\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k}$

Vector de posición de B(0,1,0) = $0\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k}$

Vector de posición de C(0,0,2) = $0\hat{i}+0\hat{j}+2\hat{k}$

$\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$

$\overrightarrow{AB} = (0\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k}) - (2\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k})$

$\overrightarrow{AB} = -2\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k}$

Ahora, la magnitud de $\overrightarrow{AB}$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2+1^2+0^2}$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5}$

$\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B}$

$\overrightarrow{BC} = (0\hat{i}+0\hat{j}+2\hat{k}) - (0\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k})$

$\overrightarrow{BC} = 0\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$

Ahora, la magnitud de $\overrightarrow{BC}$

$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{0^2+(-1)^2+2^2}$

$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{5}$

Claramente, AB = BC.

Por lo tanto, △ABC es un triángulo isósceles.