Las identidades trigonométricas son igualdades que usan funciones trigonométricas que se cumplen para cualquier valor de las variables involucradas, por lo tanto, definen ambos lados de la igualdad. Estas son ecuaciones que se relacionan con varias funciones trigonométricas y son verdaderas para cada valor variable en el dominio. Las fórmulas sen(A+B), cos(AB) y tan(A+B) son algunas de las identidades de suma y diferencia.
Relación trigonométrica tangente
La razón de dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo se llama razón trigonométrica. La razón de tangente se define como la razón de la longitud del lado opuesto de un ángulo dividida por la longitud del lado adyacente.
Si θ es el ángulo formado por la base y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces,
tan θ = Perpendicular/Base = sen θ/ cos θ
Aquí, la perpendicular es el lado opuesto al ángulo y la base es el lado adyacente a él.
Fórmula de suma de tangente
En trigonometría, la fórmula de suma de tangentes se denomina fórmula tan(A + B) para el ángulo compuesto (A+B). Se utiliza cuando el ángulo para el que se va a determinar el valor de la función tangente se proporciona como la suma de dos ángulos cualesquiera. Alternativamente, puede escribirse como tan(A + B) = sin (A + B)/cos (A + B) ya que la función tangente es una relación de las funciones seno y coseno.
tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
Derivación
La fórmula para la suma de tangentes se obtiene usando las fórmulas para la expansión de la suma de ángulos para razones de seno y coseno.
Ahora, sabemos que,
tan (A + B) = sen (A + B)/cos (A + B) …… (1)
Sustituye sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B y cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B en la ecuación (1).
tan (A + B) = (sen A cos B + cos A sen B)/(cos A cos B – sen A sen B)
Dividiendo el numerador y el denominador por cos A cos B, obtenemos
tan (A + B) = [(sen A cos B + cos A sen B)/(cos A cos B)]/[(cos A cos B – sen A sen B)/(cos A cos B)]
tan (A + B) = [(sen A cos B)/(cos A cos B) + (cos A sen B)/(cos A cos B)]/[(cos A cos B)/(cos A cos B) ) – (sen A sin B)/(cos A cos B)]
tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
Esto deriva la fórmula para la suma tangente de dos ángulos cualesquiera, A y B.
Problemas de muestra
Problema 1. Si tan A = 1/2 y tan B = 1/3, encuentra el valor de tan (A+B) usando la fórmula.
Solución:
Tenemos, tan A = 1/2 y tan B = 1/3.
Usando la fórmula que obtenemos,
tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
= (1/2 + 1/3)/(1 – (1/2)(1/3))
= (5/6)/(1 – 1/6)
= (5/6)/(5/6)
= 1
Problema 2. Si tan A = 2/3 y tan B = 4/7, encuentra el valor de tan (A+B) usando la fórmula.
Solución:
Tenemos tan A = 2/3 y tan B = 4/7.
Usando la fórmula que obtenemos,
tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
= (2/3 + 4/7)/(1 – (2/3)(4/7))
= (16/21)/(1 – 8/21)
= (16/21)/(13/21)
= 16/13
Problema 3. Si tan (A+B) = 15/11 y tan A = 2/11, encuentre el valor de tan B usando la fórmula.
Solución:
Tenemos tan (A+B) = 15/11 y tan A = 2/11.
Sea tan B = x.
Usando la fórmula que obtenemos,
tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
=> 15/11 = (2/11 + x)/(1 – (2/11)(x))
=> 15/11 = ((2 + 11x)/11)/((11 – 2x)/11)
=> 15/11 = (11x + 2)/(11 – 2x)
=> 165 – 30x = 121x + 22
=> 151x = 143
=> x = 143/151
=> bronceado B = 143/151
Problema 4. Si tan B = 6/13 y tan (A+B) = 9/13, encuentre el valor de tan A usando la fórmula.
Solución:
Tenemos tan (A+B) = 9/13 y tan B = 6/13.
Sea tan A = x.
Usando la fórmula que obtenemos,
tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
=> 9/13 = (x + 6/13)/(1 – (x)(6/13))
=> 9/13 = ((13x + 6)/13)/((13 – 6x)/13)
=> 9/13 = (13x + 6)/(13 – 6x)
=> 117 – 54x = 169x + 78
=> 223x = 39
=> x = 39/223
=> bronceado A = 39/223
Problema 5. Si sen A = 4/5 y cos B = 5/13, encuentra el valor de tan (A+B) usando la fórmula.
Solución:
Tenemos, sen A = 4/5.
Es decir, cos A = 3/5. Entonces, tan A = 4/3.
Además, cos B = 5/13.
Es decir, sen B = 12/13. Entonces, tan B = 12/5.
Usando la fórmula que obtenemos,
tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
= (4/3 + 12/5)/(1 – (4/3)(12/5))
= (56/15)/(1 – 48/15)
= (56/15)/(-33/15)
= -56/33