Fórmula de variación directa

Cuando una cantidad depende directamente de la otra, como cuando una cantidad crece en relación con la otra y viceversa, se dice que las dos variables tienen una variación directa entre ellas. Es una relación entre dos variables en la que una es un múltiplo constante de la otra. Debido a que las dos variables son proporcionales entre sí, a veces se dice que son directamente proporcionales.

Ejemplo: La velocidad de un automóvil y la distancia que recorre son un ejemplo de variación directa. Cuando se aumenta la velocidad, también aumenta la distancia recorrida en un tiempo determinado. De manera similar, a medida que la velocidad del automóvil disminuye, la distancia recorrida en ese intervalo de tiempo también se reduce.

La fórmula de variación directa conecta dos números al establecer una relación matemática en la que una variable es un múltiplo constante de la otra. Se da de la siguiente manera:

y = kx

donde x e y son las cantidades en proporción directa entre sí y k es una constante.

Resolver una variación directa

La fórmula y = kx se usa para resolver una variación directa. Si es necesario determinar la constante de proporcionalidad, divida y entre x para obtener la respuesta. Si se conoce k y se debe encontrar x o y, estos valores se pueden reemplazar en la ecuación anterior para descubrir el valor desconocido.

Ejemplo: Hallar constante de proporcionalidad si x = 69 e y = 23 tienen variación directa.

Solución: 

La fórmula para la variación directa es y = kx o k = y/x.

Por lo tanto, k = 69/23 = 1/3.

Por lo tanto, la constante de proporcionalidad es 1/3.

Problemas de muestra

Problema 1. Suponga que y varía directamente con x, y y = 72 cuando x = 8. Escriba una ecuación de variación directa que relacione x e y.

Solución:

Sabemos que la fórmula de la variación directa es y = kx.

Reemplace y con 72 y x con 8.

72 = k(8)

o, k = 72/8

k = 9.

Así, la ecuación de variación directa es y = 9x.

Problema 2. Usando la ecuación obtenida en el problema anterior, encuentre x cuando y = 63.

Solución:

Según el problema anterior, la ecuación de variación directa es y = 9x.

Reemplace y con 63.

63 = 9x

o, x = 63/9

x = 7.

Así, x = 7, cuando y = 63.

Problema 3. La distancia que recorre un jet varía directamente con el número de horas que vuela. Supongamos que viajó 3420 millas en 6 horas. Escribe una ecuación de variación directa para la distancia d volada en el tiempo t.

Solución:

Lo sabemos, Distancia = Tasa × Tiempo

Sea tasa r.

Según la información dada, tenemos

⇒ 3420 = r × 6

⇒ r = 3420/6

⇒ r = 570

Así, la ecuación de variación directa es d = 570t.

Problema 4. En el problema anterior, estima cuántas horas le tomará a una aerolínea volar 6500 millas.

Solución:

Según el problema anterior, d = 570t.

Reemplace d con 6500.

6500 = 570t

t = 6500/570

t ≈ 11,4

La aerolínea tardaría aproximadamente 11,4 horas en volar 6500 millas.

Problema 5. Suponga que y varía directamente con x, y y = 98 cuando x = 14. Escriba una ecuación de variación directa que relacione x e y.

Solución:

Sabemos que la fórmula de la variación directa es y = kx.

Reemplace y con 98 y x con 14.

98 = k(14)

o k = 98/14

k = 7.

Así, la ecuación de variación directa es y = 7x.

Problema 6. En el problema anterior, encuentra y cuando x = -4.

Solución:

Del problema anterior, tenemos y = 7x.

Reemplace x con -4 en la ecuación.

y = 7(-4)

y = -28

Así, y = -28 cuando x = -4.

Problema 7. Si publica 5 mensajes en un tablero de mensajes, recibe 12 mensajes a cambio. Escribe una variación directa que represente esta información.

Solución:

Sabemos que la fórmula de la variación directa es y = kx.

Reemplace y con 12 y x con 5.

12 = k(5)

o k = 12/5

Así, la ecuación de variación directa es y =  .