La proporcionalidad inversa es un tipo de proporcionalidad en la que una cantidad disminuye mientras que la otra crece, o viceversa. Esto significa que si la magnitud o el valor absoluto de un artículo disminuye, la magnitud o el valor absoluto de la otra cantidad crece y su producto permanece constante. Este producto también se conoce como la constante de proporcionalidad.
Si el producto de dos números distintos de cero da un término constante, se dice que están en variación inversa (constante de proporcionalidad). En otras palabras, la variación inversa ocurre cuando una variable es directamente proporcional al recíproco de la otra cantidad. Esto indica que un aumento en una cantidad provoca una reducción en la otra, y una disminución en una provoca un aumento en la otra. Supongamos que x e y están en variación inversa, si x = 20 e y = 10, su producto es 200. Si x disminuye a 10, entonces y aumenta a 20 para mantener constante el producto de 200.
Fórmula de variación inversa
Cuando dos cantidades, x e y, siguen una variación inversa, se expresan de la siguiente manera:
xy = k
Aquí, k es la constante de proporcionalidad. Además, x ≠ 0 y y ≠ 0.
Derivación
La proporcionalidad se denota con el símbolo “∝”.
Cuando dos cantidades, x e y, exhiben variación inversa, se expresan como x ∝ 1/y o y ∝ 1/x.
Se debe incluir una constante o coeficiente de proporcionalidad para transformar esta expresión en una ecuación. Como resultado, la fórmula para la variación inversa queda como sigue:
x = k/y o y = k/x, donde k es la constante de proporcionalidad.
Reordenando los términos en cualquiera de las ecuaciones, obtenemos
=> xy = k
Esto deriva la fórmula de la variación inversa.
Regla del producto para la variación inversa
Tomemos dos cantidades x 1 e y 1 inversamente proporcionales entre sí. La relación requerida es,
=> x 1 y 1 = k ⇢ (1)
Para otras dos cantidades x 2 e y 2 inversamente proporcionales entre sí, la relación requerida es,
=> x 2 y 2 = k ⇢ (2)
Usando (1) y (2),
x 1 y 1 = x 2 y 2
Esto se conoce como la regla del producto para la variación inversa.
Gráfico de variación inversa
Una hipérbola rectangular es la gráfica de una variación inversa. Si dos cantidades, x e y, están en variación inversa, su producto es igual a una constante k. Como ni x ni y pueden ser 0, la gráfica nunca cruza el eje x o y. La siguiente es la gráfica de una variación inversa xy = k:
Veamos ejemplos para comprender mejor el concepto de la fórmula de la variación inversa.
Ejemplos de problemas
Pregunta 1: Suponga que x e y están en una proporción inversa tal que, cuando x = 4, entonces y = 18. Halle el valor de y cuando x = 6.
Solución:
Encuentre la constante de proporcionalidad para x = 4 y y = 18.
k = xy = 4 (18) = 72
Encuentra y para x = 6 y k = 72.
y = k/x
= 72/6
= 12
Pregunta 2: Suponga que x e y están en una proporción inversa tal que, cuando x = 1, entonces y = 6. Halle el valor de y cuando x = 3.
Solución:
Encuentre la constante de proporcionalidad para x = 1 y y = 6.
k = xy = 1 (6) = 6
Encuentra y para x = 3 y k = 6.
y = k/x
= 6/3
= 2
Pregunta 3: Suponga que x e y están en una proporción inversa tal que, cuando x = 6, entonces y = 16. Halle el valor de y cuando x = 8.
Solución:
Encuentre la constante de proporcionalidad para x = 6 y y = 16.
k = xy = 6 (16) = 96
Encuentra y para x = 8 y k = 96.
y = k/x
= 96/8
= 12
Pregunta 4: Suponga que x e y están en una proporción inversa tal que, cuando x = 1, entonces y = 2. Halle el valor de y cuando x = 4.
Solución:
Encuentre la constante de proporcionalidad para x = 1 e y = 2.
k = xy = 1 (2) = 2
Encuentre y para x = 4 y k = 2.
y = k/x
= 2/4
= 1/2
Pregunta 5: Suponga que x e y están en una proporción inversa tal que, cuando x = 6, entonces y = 36. Halle el valor de y cuando x = 18.
Solución:
Encuentre la constante de proporcionalidad para x = 6 y y = 36.
k = xy = 6 (36) = 216
Encuentra y para x = 18 y k = 216.
y = k/x
= 216/18
= 12
Pregunta 6: Suponga que x e y están en una proporción inversa tal que, cuando x = 2, entonces y = 9. Halle el valor de y cuando x = 3.
Solución:
Encuentre la constante de proporcionalidad para x = 2 y y = 9.
k = xy = 2 (9) = 18
Encuentra y para x = 3 y k = 18.
y = k/x
= 18/3
= 6
Pregunta 7: Suponga que x e y están en una proporción inversa tal que, cuando x = 30, entonces y = 8. Halle el valor de y cuando x = 40.
Solución:
Encuentre la constante de proporcionalidad para x = 30 y y = 8.
k = xy = 30 (8) = 240
Encuentra y para x = 40 y k = 240.
y = k/x
= 240/40
= 6