En matemáticas, un prisma es un miembro esencial de la familia de los poliedros y se define como una forma tridimensional que tiene dos polígonos idénticos enfrentados que están conectados lateralmente por caras rectangulares o de paralelogramo. Los polígonos idénticos pueden ser triángulos, cuadrados, rectángulos, pentágonos o cualquier otro polígono de n lados y se denominan bases del prisma. Las otras caras de un prisma son paralelogramos o rectángulos. Hay dos tipos de prismas según el tipo de base poligonal, a saber, un prisma regular y un prisma irregular. Según la alineación de las bases, hay dos tipos de prismas, a saber, el prisma recto y un prisma oblicuo. Además, existen diferentes tipos de prismas según la forma de la base de un prisma, como
- prismas triangulares,
- prismas cuadrados,
- prismas rectangulares,
- prismas pentagonales,
- prismas hexagonales,
- Prismas octogonales, etc.
Área de superficie del prisma
El área superficial de un prisma se conoce como el área total encerrada por todas sus caras. Para determinar el área de la superficie de un prisma, debemos calcular las áreas de cada una de sus caras y luego sumar las áreas resultantes. Un prisma tiene dos tipos de áreas de superficie, a saber, el área de superficie lateral y el área de superficie total. El área ocupada por las caras de un prisma, excluyendo las dos caras paralelas (bases de un prisma), se denomina área de superficie lateral.
El área de la superficie lateral de un prisma = [Perímetro de la base × altura] unidades cuadradas
Ahora, el área de superficie total de un prisma es la suma de las áreas de sus dos bases y su área de superficie lateral.
La fórmula general para calcular el área superficial total de cualquier tipo de prisma recto es:
El área de superficie total de un prisma = [2 (área base) + (perímetro base × altura)] unidades cuadradas
Prisma triangular
Un prisma con base triangular se denomina prisma triangular. Un prisma triangular consta de tres superficies rectangulares inclinadas y dos bases triangulares paralelas. Sea “H” la altura del prisma triangular; “a, byc” son las longitudes de los lados y “h” es la altura de las bases triangulares.
El perímetro de una base triangular (P) = Suma de sus tres lados = a + b + c
El área de una base triangular (A) = ½ × base × altura = ½ bh
Sabemos que la fórmula general para el área de la superficie lateral de un prisma recto es LSA = PH, donde P es el perímetro de la base y A es el área de la base.
Sustituyendo todos los valores en la fórmula general obtenemos,
El área de la superficie lateral de un prisma triangular = (a + b +c)H unidades cuadradas
dónde,
a, b, c son lados de una base triangular
H es la altura del prisma triangular
Sabemos que la fórmula general para el área total de la superficie de un prisma recto es TSA = PH+2A, donde P es el perímetro de la base, A es el área de la base y H es la altura del prisma.
Sustituyendo todos los valores en la fórmula general obtenemos
El área de superficie total del prisma triangular = (a + b + c)H + 2 × (½ bh)
El área de superficie total del prisma triangular = (a + b + c)H + bh unidades cuadradas
dónde,
a, b, c son lados de una base triangular
H es la altura del prisma triangular
h es la altura del triangulo
Prisma rectangular
Un prisma con base rectangular se denomina prisma rectangular. Un prisma rectangular consta de cuatro superficies rectangulares y dos bases rectangulares paralelas. Sea la altura del prisma «h» y la longitud y el ancho de sus bases rectangulares sean «l» y «w», respectivamente.
El perímetro de una base rectangular (P) = Suma de sus cuatro lados = 2 (l + a)
El área de una base rectangular (A) = largo × ancho = l × a
Sabemos que la fórmula general para el área de la superficie lateral de un prisma recto es LSA = PH, donde P es el perímetro de la base y A es el área de la base.
Sustituyendo todos los valores en la fórmula general obtenemos,
El área de la superficie lateral de un prisma rectangular = 2h(l + w) unidades cuadradas
dónde,
l es largo
w es ancho
su altura
Sabemos que la fórmula general para el área total de la superficie de un prisma recto es TSA = PH+2A, donde P es el perímetro de la base, A es el área de la base y H es la altura del prisma.
Sustituyendo todos los valores en la fórmula general obtenemos
El área de superficie total del prisma rectangular = 2h(l + w) + 2(l × w)
= 2 lh + 2 wh + 2 lw
El área de superficie total del prisma rectangular = 2 (lh + wh + lw) unidades cuadradas
dónde,
l es largo
w es ancho
su altura
prisma cuadrado
Un prisma de base cuadrada se denomina prisma cuadrado. Un prisma cuadrado consta de cuatro superficies rectangulares y dos bases cuadradas paralelas. Sea la altura del prisma “h” y la longitud de sus bases cuadradas sea “s”.
El perímetro de una base cuadrada (P) = Suma de sus cuatro lados = s + s + s + s = 4s
El área de una base cuadrada (A) = (longitud del lado) 2 = s 2
Sabemos que la fórmula general para el área de la superficie lateral de un prisma recto es LSA = PH, donde P es el perímetro de la base y A es el área de la base.
Sustituyendo todos los valores en la fórmula general obtenemos,
El área de la superficie lateral de un prisma cuadrado = 4sh unidades cuadradas
dónde,
s es el lado de la base cuadrada
h es la altura del prisma cuadrado
Sabemos que la fórmula general para el área total de la superficie de un prisma recto es TSA = PH+2A, donde P es el perímetro de la base, A es el área de la base y H es la altura del prisma.
Sustituyendo todos los valores en la fórmula general obtenemos
El área de superficie total del prisma cuadrado = [4sh + 2s 2 ] unidades cuadradas
dónde,
s es el lado de la base cuadrada
h es la altura del prisma cuadrado
prisma pentagonal
Un prisma con base pentagonal se conoce como prisma pentagonal. Un prisma pentagonal consta de cinco superficies rectangulares inclinadas y dos bases pentagonales paralelas. Sea “h” la altura del prisma pentagonal; “a y b” serán la longitud de la apotema y la longitud de los lados de las bases pentagonales.
El perímetro de la base de un pentágono (P) = Suma de sus cinco lados = 5b
El área de la base de un pentágono (A) = 5/2 x (longitud de la apotema) x (longitud del lado) = 5ab
Sabemos que la fórmula general para el área de la superficie lateral de un prisma recto es LSA = PH, donde P es el perímetro de la base y A es el área de la base.
Sustituyendo todos los valores en la fórmula general obtenemos,
El área de la superficie lateral de un prisma pentagonal = 5bh unidades cuadradas
dónde,
b es el lado de la base pentagonal
h es la altura del prisma pentagonal
Sabemos que la fórmula general para el área total de la superficie de un prisma recto es TSA = PH+2A, donde P es el perímetro de la base, A es el área de la base y H es la altura del prisma.
Sustituyendo todos los valores en la fórmula general obtenemos,
El área de superficie total del prisma pentagonal = [5bh + 5ab] unidades cuadradas
dónde,
b es el lado de la base pentagonal
a es la longitud de la apotema.
h es la altura del prisma pentagonal
Prisma hexagonal
Un prisma con base hexagonal se denomina prisma hexagonal. Un prisma hexagonal consta de seis superficies rectangulares inclinadas y dos bases hexagonales paralelas. Sea “h” la altura del prisma hexagonal; “a” serán las longitudes de los lados de las bases hexagonales.
El perímetro de una base hexagonal (P) = Suma de sus seis lados = 6a
El área de una base hexagonal (A) = 6 x (Área de un triángulo equilátero)
UN = 6 x (√3a 2/4 ) ⇒ UN = 3√3a 2/2
Sabemos que la fórmula general para el área de la superficie lateral de un prisma recto es LSA = PH, donde P es el perímetro de la base y A es el área de la base.
Sustituyendo todos los valores en la fórmula general obtenemos,
El área de la superficie lateral de un prisma hexagonal = 6ah unidades cuadradas
dónde,
a es el lado de la base hexagonal
h es la altura de la base hexagonal
Sabemos que la fórmula general para el área total de la superficie de un prisma recto es TSA = PH+2A, donde P es el perímetro de la base, A es el área de la base y H es la altura del prisma.
Sustituyendo todos los valores en la fórmula general obtenemos
El área de superficie total del prisma hexagonal = [6ah +3√3a 2 ] unidades cuadradas
dónde,
a es el lado de la base hexagonal
h es la altura de la base hexagonal
Fórmula del área de superficie del prisma
Forma |
base del prisma |
Superficie lateral[Perímetro base × altura] |
Superficie total[(2 × Área base) + (Perímetro base × altura)] |
|---|---|---|---|
Prisma triangular |
Triángulo |
(a + b +c)H unidades cuadradas |
(a + b + c)H + bh unidades cuadradas |
Prisma rectangular |
Rectángulo |
2h(l + a) unidades cuadradas |
2 (lh + wh + lw) unidades cuadradas |
prisma cuadrado |
Cuadrado |
4sh unidades cuadradas |
[4sh + 2s 2 ] unidades cuadradas |
prisma pentagonal |
Pentágono |
5bh unidades cuadradas |
[5ab + 5bh] unidades cuadradas |
Prisma hexagonal |
Hexágono |
6ah unidades cuadradas |
[3√3a 2 + 6ah] unidades cuadradas |
Problemas de muestra
Problema 1: ¿Cuál es la altura de un prisma cuya área de base es de 36 unidades cuadradas, su perímetro de base es de 24 unidades y su área de superficie total es de 320 unidades cuadradas?
Solución:
Dados los datos,
Área base = 36 unidades cuadradas
Perímetro base = 24 unidades
El área de superficie total del prisma = 320 unidades cuadradas
Tenemos,
El área de la superficie total del prisma = (2 × Área de la base) + (Perímetro de la base × altura)
⇒ 320 = (2 × 36)+ (24 × altura)
⇒ 24h = 248 ⇒ h = 10,34 unidades
Por lo tanto, la altura del prisma dado es de 10,34 unidades.
Problema 2: Encuentra el área total de la superficie de un prisma cuadrado si la altura del prisma y la longitud del lado de la base cuadrada son 13 cm y 4 cm, respectivamente.
Solución:
Dados los datos,
La altura del prisma cuadrado (h) = 13 cm
La longitud del lado de la base cuadrada (a) = 4 cm
Lo sabemos,
El área de superficie total de un prisma cuadrado = 2a 2 + 4ah
= 2 × (4) 2 + 4 × 4 × 13
= 32 + 208 = 240 cm2
Por lo tanto, el área de superficie total del prisma dado es de 240 cm2.
Problema 3: Determinar la longitud de la base de un prisma pentagonal si su área total es 100 unidades cuadradas y su altura y longitud apotema son 8 unidades y 5 unidades, respectivamente.
Solución:
Dados los datos,
El área de superficie total del prisma pentagonal = 100 unidades cuadradas
La altura del prisma (h) = 8 unidades
Longitud de la apotema (a) = 5 unidades
Lo sabemos,
El área de superficie total del prisma pentagonal = 5ab + 5bh
⇒ 100 = 5b (a+ h)
⇒ 100/5 = segundo (5 + 8)
⇒ 20 = b × (13) ⇒ b = 25/16 = 1,54 unidades
Por lo tanto, la longitud base es de 1,54 unidades.
Problema 4: Determinar la altura del prisma rectangular y el área total de un prisma rectangular si su superficie lateral es de 540 cm2 y el largo y ancho de la base son 13 cm y 7 cm, respectivamente.
Solución:
Dados los datos,
La longitud de la base rectangular (l) = 13 cm
El ancho de la base rectangular (w) = 7 cm
El área de la superficie lateral del prisma = 540 cm2
Tenemos,
El área de la superficie lateral del prisma = Perímetro de la base × altura
⇒ 540 = 2 (largo + ancho) h
⇒ 2 (13 + 7) h = 540
⇒ 2 (20) h = 540 ⇒ h = 13,5 cm
Lo sabemos,
El área de superficie total del prisma rectangular = 2 (lw + wh + lh)
= 2 × (13 × 7 + 7 × (13,5) + 13 × (13,5))
= 2 × (91 + 94,5 + 175,5) = 722 cm2
Por lo tanto, la altura y el área total de la superficie del prisma rectangular dado son 13,5 cm y 722 cm cuadrados, respectivamente.
Problema 5: Determine el área de la superficie del prisma hexagonal regular si la altura del prisma es de 12 pulgadas y la longitud del lado de la base es de 5 pulgadas.
Solución:
Dados los datos,
La altura del prisma (h) = 12 pulgadas
La longitud del lado de la base (a) = 6 pulgadas
El área de superficie de un prisma hexagonal regular = 6ah + 3√3a 2
= 6 × 5 × 12 + 3√3(5) 2
= 360 + 75√3
= 360 + 75 × (1,732) = 489,9 pulgadas cuadradas
Por lo tanto, el área de la superficie del prisma dado es de 489,9 pulgadas cuadradas.
Problema 6: Calcular las áreas superficiales lateral y total de un prisma triangular cuyo perímetro de la base es de 25 pulgadas, la longitud y la altura de la base del triángulo son de 9 pulgadas y 10 pulgadas, y la altura del prisma es de 14 pulgadas.
Solución:
Dados los datos,
La altura del prisma (H) = 14 pulgadas
El perímetro de la base del prisma (P) = 25 pulgadas
La longitud de la base del triángulo = 9 pulgadas
La altura del triangulo = 10 pulgadas
Lo sabemos,
El área de la superficie lateral del prisma = Perímetro de la base × altura
= 25 × 14 = 350 pulgadas cuadradas
Área de la base triangular (A) = ½ × base × altura = 1/2 × 9 × 10 = 45 pulgadas cuadradas
El área de superficie total del prisma triangular = 2A + PH
= 2 × 45 + 25 × 14 = 90 + 350 = 440 pulgadas cuadradas
Por lo tanto, las áreas de superficie lateral y total del prisma son 350 pulgadas cuadradas y 440 pulgadas cuadradas, respectivamente.
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Artículo escrito por kiran086472 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA