Fórmula del cuadrilátero tangencial

En medición, un cuadrilátero tangencial se define como un cuadrilátero convexo cuyos lados son tangentes a un solo círculo dentro de sí mismo. Este cuadrilátero también se conoce con el nombre de cuadrilátero circunscribible o cuadrilátero circunscriptor, ya que se dibuja rodeando o circunscribiendo sus incírculos. Este círculo se conoce como círculo inscrito o incircunferencia del cuadrilátero, y su centro y radio se conocen como incentro e inradio respectivamente.

Fórmula del cuadrilátero tangencial

En un cuadrilátero tangencial, la suma de las longitudes de un par de lados opuestos es igual al otro. En otras palabras, si un cuadrilátero tangencial tiene lados de longitud a, b, c y d, entonces podemos decir que a + c = b + d. Además, se puede decir que la suma de un par de lados opuestos es igual al semiperímetro del cuadrilátero. El área de un cuadrilátero tangencial es igual a la raíz cuadrada del producto de sus lados. 

A = √(abcd)

donde p, q, r y s son las longitudes de los lados del cuadrilátero tangencial.

La fórmula también se puede escribir como,

A = rS

dónde,

r es el radio del círculo inscrito,

S = (a + b + c + d)/2 es el semiperímetro del cuadrilátero.

Problemas de muestra

Problema 1. Halla la longitud faltante de un cuadrilátero tangencial si tres de sus lados miden 10 cm, 15 cm y 21 cm.

Solución:

Tenemos,

a = 10, b = 15 y c = 21.

Usando la propiedad del lado opuesto del cuadrilátero tangencial obtenemos,

un + c = segundo + re

=> 10 + 21 = 15 + re

=> 31 = 15 + re

=> profundidad = 16 cm

Problema 2. Hallar el área de un cuadrilátero tangencial si sus lados miden 7 cm, 11 cm, 14 cm y 10 cm.

Solución:

Tenemos,

a = 7, b = 11, c = 14 y d = 10.

Usando la fórmula que obtenemos,

A = √(abcd)

= √(7 × 11 × 14 × 10)

= √10780

= 103,82 cm2

Problema 3. Hallar el área de un cuadrilátero tangencial si sus lados miden 9 cm, 13 cm, 16 cm y 12 cm.

Solución:

Tenemos,

a = 9, b = 13, c = 16 y d = 12.

Usando la fórmula que obtenemos,

A = √(abcd)

= √(9 × 13 × 16 × 12)

= √22464

= 149,87 cm2

Problema 4. Hallar el área de un cuadrilátero tangencial si el radio de la circunferencia inscrita es de 5 cm y su semiperímetro es de 80 cm.

Solución:

Tenemos,

r = 5 y S = 80.

Usando la fórmula que obtenemos,

A = rS

= 5 (80)

= 400 cm2

Problema 5. Hallar el radio de la circunferencia inscrita de un cuadrilátero tangencial si su semiperímetro es de 40 cm y el área de 120 cm cuadrados.

Solución:

Tenemos,

S = 40 y A = 120.

Usando la fórmula que obtenemos,

A = rS

=> r = E/S

=> r = 120/40

=> r = 3cm 

Problema 6. Hallar el radio de la circunferencia inscrita de un cuadrilátero tangencial si su perímetro es de 200 cm y el área de 845 cm2.

Solución:

Tenemos,

P = 200 y A = 845.

Sabemos, P = 2S

=> S = 200/2

= 100 centímetros

Usando la fórmula que obtenemos,

A = rS

=> r = E/S

=> r = 845/100

=> r = 84,5 cm

Problema 7. Encuentra el perímetro de un cuadrilátero tangencial si el radio del círculo inscrito es de 10 cm y el área es de 280 cm cuadrados.

Solución:

Tenemos,

r = 10 y A = 280.

Usando la fórmula que obtenemos,

A = rS

=> S = A/r

=> S = 280/10

=> M = 28 cm

Sabemos, P = 2S.

PAG = 2 (28)

= 56 centímetros