El factorial de un número ‘n’ se define como el producto de todos los números enteros menores que ‘n’ hasta 1. Por lo tanto, se puede definir como un factorial para un número 4 como 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Se representa con el símbolo ‘!’. Supongamos que se necesita escribir el factorial de 5, ¡se puede escribir como 5! y el valor de 5! es 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Echemos un vistazo a la fórmula factorial en forma generalizada,
fórmula factorial
Como se discutió anteriormente, el factorial de cierto número es la multiplicación de ese número con todos los números menores que ese número hasta 1. Entonces, si el número es n, y se necesita encontrar ese factorial de n, n debe ser multiplicado por (n – 1), (n – 2),… hasta 1. La fórmula del factorial será,
Factorial de n = n! = norte × (n – 1) × (n – 2) × … × 1
Propiedades del Factorial
- El factorial de cualquier número es un número entero
- Un factorial también se puede representar como una función recursiva.
¡norte! = norte × (n – 1) × (n – 2) × … × 1 = norte × (n – 1)!
- Factorial de cero es 1, eso es 0! = 1
- El factorial de números negativos no está definido
Usos de la fórmula factorial
La fórmula factorial se usa en muchas áreas, específicamente en permutaciones y combinaciones de matemáticas. Por ejemplo,
- ¡El número de formas en que n objetos distintos pueden organizarse en una fila es igual a n!
- La permutación da la cantidad de formas de seleccionar r elementos de n elementos cuando el orden es importante . Se da usando la fórmula n P r .
norte PAG r = norte! / (n – r)!
- La combinación da el número de formas de seleccionar r elementos de n elementos donde el orden no importa . Se da como n C r .
norte C r = norte! / r! (n – r)!
Problemas de muestra
Pregunta 1: Encuentra el valor del factorial de 5.
Solución:
Para encontrar el factorial de 5, necesitamos multiplicar todos los números enteros menores o iguales a 5.
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Por lo tanto, 5! = 120
Pregunta 2: Encuentra el valor de un número x, dado el factorial de x, es 720.
Solución:
Aplicar la propiedad recursiva del factorial para encontrar x. Hasta ya menos que obtengamos 720 como resultado, procederemos recursivamente.
1! = 1
2! = 2 × 1! = 2
3! = 3 × 2! =6
4! = 4 × 3! = 4 × 6 = 24
5! = 5 × 4! = 5 × 24 = 120
6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720
Como se obtiene 720 como el factorial de 6, se puede comparar el valor de x con 6.
Así, el valor de x = 6
Pregunta 3: Encuentra la cantidad de formas en que se pueden colocar 5 objetos distintos en una fila.
Solución:
¡Use la propiedad de que el número de formas en que n objetos distintos pueden organizarse en una fila es igual a n!
¡Por lo tanto, 5 objetos distintos se pueden organizar en 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Entonces, el número de formas es igual a 120 .
Pregunta 4: Encuentra el número de maneras en que se pueden seleccionar 3 estudiantes de una clase de 50 estudiantes.
Solución:
Para encontrar el número de formas en que se pueden seleccionar 3 estudiantes de una clase de 50 estudiantes, podemos usar la fórmula de Combinación, ya que aquí no importa el orden de los tres estudiantes seleccionados.
Por lo tanto, el número total de vías = 50 C 3
Entonces, ¡esto se puede simplificar como 50 C 3 = 50! / (3! × 47!) = (50 × 49 × 48 × 47!) / (3! × 47!) = 50 × 49 × 48 / 6 = 19 600
Entonces, hay un total de 19,600 formas.
Pregunta 5: Se van a distribuir tres frutas diferentes entre un grupo de 10 personas. Encuentra el número total de formas en que esto puede ser posible.
Solución:
Dado que, en este caso, el orden en que se distribuyen las frutas es importante, necesitamos implementar Permutation .
Entonces, el número total de formas es 10 P 3 .
Simplificando, esto se puede escribir como,
10 P 3 = 10! / (10 – 3) ! = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 × 7! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720
Por lo tanto, hay un total de 720 formas posibles.