La trigonometría es un campo de las matemáticas que determina los ángulos y los lados desconocidos de un triángulo usando razones trigonométricas. Simplifica la estimación de dimensiones desconocidas de un triángulo rectángulo mediante el uso de ecuaciones e identidades basadas en esta relación. Las palabras ‘Trigonon’ y ‘Metron’, que representan un triángulo y una medida, respectivamente, forman el término trigonometría. Esta rama de las matemáticas se estudia utilizando razones trigonométricas como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Es el estudio de la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo.
Relación trigonométrica tangente
Una razón trigonométrica se define como la razón de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo. Estas razones relacionan la razón de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos en trigonometría. La razón de tangente se calcula calculando la razón de la longitud del lado opuesto de un ángulo dividida por la longitud del lado adyacente. Se denota por la abreviatura tan.
Si θ es el ángulo que se encuentra entre la base y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces,
tan θ = Perpendicular/Base = sen θ/ cos θ
Aquí, la perpendicular es el lado opuesto al ángulo y la base es el lado adyacente a él.
Fórmula Tan2x
En trigonometría, Tan2x es una identidad de doble ángulo. Debido a que la función tangente es una razón de las funciones seno y coseno, también se puede representar como tan2x = sen 2x/cos 2x. Es una identidad trigonométrica importante que se utiliza para resolver una amplia gama de problemas trigonométricos y de integración. Después de cada 2π radianes, el valor de tan2x se repite, tan2x = tan (2x + 2π). Su gráfico es notablemente más delgado que el de tan x. Es una función trigonométrica que devuelve el valor de la función tan de un ángulo doble.
tan 2x = 2 tan x/(1 – tan 2 x)
La fórmula también se puede expresar en términos de funciones seno y coseno.
Sabemos,
tan 2x = sen 2x / cos 2x
tan 2x = 2 sen x cos x/(cos 2 x – sen 2 x)
Derivación
La fórmula para tan 2x se puede derivar usando las fórmulas de doble ángulo para las funciones seno y coseno.
Ya sabemos, tan x = sen x/cos x
Sustituyendo x con 2x en la ecuación, obtenemos
tan 2x = sen 2x/cos 2x ⇢ (1)
Pon sen 2x = 2 sen x cos x y cos 2x = cos 2 x – sen 2 x en la ecuación (1).
tan 2x = 2 sen x cos x/(cos 2 x – sen 2 x)
Dividiendo numerador y denominador en RHS por cos 2 x, obtenemos
tan 2x = [(2 sen x cos x)/cos 2 x]/[(cos 2 x – sen 2 x)/(cos 2 x)]
tan 2x = [(2 sen x)/cos x]/(1 – sen 2 x/cos 2 x)
tan 2x = 2 tan x/(1 – tan 2 x)
Así se deriva la fórmula para la relación tan 2x.
Problemas de muestra
Problema 1: Si tan x = 3/4, encuentra el valor de tan 2x usando la fórmula.
Solución:
Tenemos, tan x = 3/4.
Usando la fórmula que obtenemos,
tan 2x = 2 tan x/(1 – tan 2 x)
= (2 (3/4))/(1 – (3/4) 2 )
= (6/4)/(1 – 9/16)
= (6/4)/(7/16)
= 24/7
Problema 2: Si tan x = 12/5, encuentra el valor de tan 2x usando la fórmula.
Solución:
Tenemos, tan x = 12/5.
Usando la fórmula que obtenemos,
tan 2x = 2 tan x/(1 – tan 2 x)
= (2 (12/5))/(1 – (12/5) 2 )
= (24/5)/(1 – 144/25)
= (24/5)/(-119/25)
= -120/119
Problema 3: Si sen x = 4/5, encuentra el valor de tan 2x usando la fórmula.
Solución:
Tenemos, sen x = 4/5.
Claramente cos x = 3/5. Por lo tanto tenemos, tan x = 4/3.
Usando la fórmula que obtenemos,
tan 2x = 2 tan x/(1 – tan 2 x)
= (2 (4/3))/(1 – (4/3) 2 )
= (8/3)/(1 – 16/9)
= (8/3)/(-7/9)
= -24/7
Problema 4: Si cos x = 12/13, encuentra el valor de tan 2x usando la fórmula.
Solución:
Tenemos, cos x = 12/13.
Claramente sen x = 5/13.
Por lo tanto tenemos, tan x = 5/12.
Usando la fórmula que obtenemos,
tan 2x = 2 tan x/(1 – tan 2 x)
= (2 (5/12))/(1 – (5/12) 2 )
= (5/6)/(1 – 25/144)
= (5/6)/(119/144)
= 120/119
Problema 5: Si sec x = 17/8, encuentra el valor de tan 2x usando la fórmula.
Solución:
Tenemos, sec x = 17/8.
Encuentra el valor de tan x usando la fórmula sec 2 x = 1 + tan 2 x.
tan x = √((289/64) – 1)
= √(225/64)
= 15/8
Usando la fórmula que obtenemos,
tan 2x = 2 tan x/(1 – tan 2 x)
= (2 (15/8))/(1 – (15/8) 2 )
= (15/4)/(1 – 225/64)
= (15/4)/(-161/64)
= -240/161
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA