Fórmulas de suma y diferencia de trigonometría

En trigonometría, usando las fórmulas de suma y diferencia, se pueden calcular los valores de las funciones trigonométricas en cualquier ángulo donde sea factible expresar el ángulo dado como la suma o la diferencia de ángulos estándar como 0°, 30°, 45°, 60°. °, 90° y 180°. Podemos memorizar fácilmente los valores de razones trigonométricas en ángulos estándar; es decir, 0°, 30°, 45°, 60°, 90° y 180°. Por ejemplo, para evaluar el valor de la función coseno a 15°, podemos escribir 15° como la diferencia entre 45° y 30°; es decir, cos 15° = cos (45°-15°). Con la ayuda de fórmulas de suma y diferencia, podemos resolver varios problemas matemáticos y también probar varias identidades y problemas trigonométricos. 

Tenemos principalmente seis fórmulas trigonométricas de suma y diferencia, que son;

Fórmulas de suma y diferencia

• sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B
• sen (A – B) = sen A cos B – cos A sen B
• cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B
• cos (A – B) = cos A cos B + sen A sen B
• tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
• tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Derivación de identidades de suma y diferencia

Para demostrar, las fórmulas trigonométricas de suma y diferencia consideremos un círculo unitario, con coordenadas dadas como (cos θ, sen θ). Considere los puntos A y B, que forman ángulos de α y β con el eje X positivo, respectivamente. Las coordenadas de A y B son (cos α, sen α) y (cos β, sen β), respectivamente. Podemos observar que el ángulo AOB es igual a (α – β). Ahora, considere otros dos puntos P y Q en el círculo unitario tales que Q es un punto en el eje X con coordenadas (1,0) y el ángulo POQ es igual a (α – β), y por lo tanto las coordenadas del punto P son (cos (α – β), sen (α – β)). 

Ahora, OA = OP, y OB = OQ ya que son los radios del mismo círculo unitario, y además la medida de uno de los ángulos incluidos de ambos triángulos es (α – β).

Por tanto, por la congruencia lado-ángulo-lado, los triángulos AOB y POQ son congruentes.

Sabemos que las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes, por lo tanto, AB = PQ.

Entonces, AB = PQ.

Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos obtenemos,

d _AB = √[(cos α – cos β) ² + (sen α – sen β) ² ]

= √[cos ² α – 2 cos α cos β + cos ² β + sen ² α – 2 sen α sen β + sen ² β] {Ya que, (a – b) ² = a ² – 2ab + b ² )}

= √[(cos ² α+ sen ² α) + (cos ² β+ sen ² β) – 2(cos α cos β + sen α sen β)]

= √[1 + 1 – 2(cos α cos β + sen α sen β)] {Ya que, sen ² x + cos ² x = 1}

= √[2 – 2(cos α cos β+ sen α sen β)] ———————— (1)

d _PQ = √[(cos (α – β) – 1) ² + (sen (α – β) – 0) ² ] 

= √[cos ² (α – β) – 2 cos (α – β) + 1 + sen ² (α – β)] {Ya que, (a – b) ² = a ² – 2ab + b ² )}

= √[(cos ² (α – β) + sen ² (α – β)) + 1 – 2 cos (α – β)]

= √[1 + 1 – 2 cos (α – β)] {Ya que, sen ² x + cos ² x = 1}

= √[2 – 2 cos (α – β)] ———————— (2)

Como AB = PQ, iguale ambas ecuaciones (1) y (2).

√[2 – 2(cos α cos β+ sen α sen β)] = √[2 – 2 cos (α – β)] 

Al elevar al cuadrado en ambos lados, obtenemos,

2 – 2(cos α cos β+ sen α sen β) = 2 – 2 cos (α – β) ________________(3)

Fórmula coseno (α – β)

de la ecuación (3)

⇒ 2 (1 – cos α cos β – sen α sen β) = 2 (1 – cos (α – β))

⇒ 1 – cos α cos β – sen α sen β = 1 – cos (α – β)

⇒ cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β

cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β

Fórmula coseno (α + β)

Para obtener la fórmula de la suma de la función coseno, sustituya (-β) en lugar de β en la diferencia de la función coseno.

Por lo tanto, obtenemos cos (α + β) = cos (α – (β))

= cos α cos (-β) + sen α sen (-β)    {Ya que, cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β}

= cos α cos β – sen α sen β            {Ya que, cos (-θ) = cos θ, sen (-θ) = – sen θ}

⇒ cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β  

 cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β  

Fórmula de pecado (α – β)

Sabemos que sen (90° – θ) = cos θ y cos (90° – θ) = sen θ . 

Entonces, sen (α – β) = coseno (90° – (α – β))

= coseno (90° – α + β)

= cos [(90° – α) + β]

= cos (90° – α) cos β – sin (90° – α) sin β      {Ya que, cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β}

⇒ sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β

sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β

Fórmula de pecado (α + β)

Sabemos que sen (90° – θ) = cos θ y cos (90° – θ) = sen θ .

Entonces, sen (α + β) = cos (90° – (α + β))

= coseno (90° – α – β)

= cos [(90° – α) – β]

= cos (90° – α) cos β + sen (90° – α) sen β {Ya que, cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β}

⇒ sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β

Fórmula de bronceado (α – β)

Sabemos que, tan θ = sen θ/cos θ

Entonces, tan (α – β) = sen (α – β)/cos (α – β)

= (sin α cos β – cos α sin β)/(cos α cos β + sin α sin β)       {Ya que, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β y cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β}

Ahora, divide el numerador y el denominador con cos α cos β

= [(sen α cos β – cos α sin β)cos α cos β ]/[(cos α cos β + sen α sin β)/(cos α cos β)

= (sen α/cos α – sen β/cos β)/(1 + (sen α/cos α)×(sen β/cos β))

= (tan α – tan β)/(1 + tan α tan β)

⇒ tan (α – β) = (tan α – tan β)/(1 + tan α tan β)

tan (α – β) = (tan α – tan β)/(1 + tan α tan β)

Fórmula bronceado (α + β)

Para obtener la fórmula tan (α + β), sustituya (-β) en lugar de β en la fórmula tan (α – β).

Por lo tanto, obtenemos, tan (α + β) = tan (α – (-β))

= (tan α – tan (-β))/(1 + tan α tan (-β)) {Ya que, tan (α – β) = (tan α – tan β)/(1 + tan α tan β)}

= (tan α + tan β)/(1 – tan α tan β) {Ya que, tan (-θ) = – tan θ}

⇒ tan (α + β) = (tan α + tan β)/(1 – tan α tan β)

tan (α + β) = (tan α + tan β)/(1 – tan α tan β)

Tabla de fórmulas de suma y diferencia

	fórmulas de suma	Fórmulas de diferencia
función seno	sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β	sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β
Función coseno	cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β	cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β
función tangente	tan (α + β) = (tan α + tan β)/(1 – tan α tan β)	tan (α – β) = (tan α – tan β)/(1 + tan α tan β)

Problemas de muestra

Problema 1: Demostrar las fórmulas de los ángulos triples de las funciones seno y coseno usando las fórmulas de suma y diferencia.

Solución:

Para probar: sen 3A = 3 sen A – 4 sen ³ A

Prueba:

Podemos escribir sen 3A como sen (2A + A)

⇒ sen 3A = sen (2A + A)

Tenemos, sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B

Entonces, sen (2A + A) = sen 2A cos A + cos 2A sen A

Lo sabemos,

sen 2A = 2 sen A cos A y cos 2A = 1 – 2 sen ² A 

⇒ sen (2A + A) = (2 sen A cos A) cos A + (1 – 2 sen ² A) sen A

= 2 sen A cos ² A + sen A – 2 sen ³ A

Tenemos, cos ² A = 1 – sen ² A 

= 2 sen A (1 – sen ² A) + sen A – 2 sen ³ A

= 2 sen A – 2 sen ³ A + sen A – 2 sen ³ A

= 3 sen A – 4 sen ³ A

Así, sen 3A = 3 sen A – 4 sen ³ A

Por lo tanto probado

Para probar: cos 3A = 4 cos ³ A – 3 cos A

Prueba:

Podemos escribir cos 3A como cos (2A + A)

⇒ cos 3A = cos (2A + A)

Tenemos, cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B

Entonces, cos (2A + A) = cos 2A cos A – sen 2A sen A

Lo sabemos, 

sen 2A = 2 sen A cos A y cos 2A = 2 cos ² A – 1

⇒ cos (2A + A) = (2 cos ² A – 1) cos A – (2 sen A cos A) sen A

= 2 cos ³ A – cos A – 2 sen ² A cos A

 Tenemos, sen2 A = 1- cos ² A

= 2 cos ³ A – cos A – 2 (1- cos ² A) cos A

= 2 cos ³ A – cos A – 2 cos A + 2 cos ³ A = 4 cos ³ A – 3 cos A

Así, cos 3A = 4 cos ³ A – 3 cos A

Por lo tanto probado

Problema 2: Encuentra el valor de cos 75° usando las fórmulas de suma y diferencia.

Solución:

Podemos escribir 75° como la suma de 45° y 30°.

Usando la fórmula de la suma de la función coseno obtenemos,

coseno 75° = coseno (45° + 30°)

= cos 45° cos 30° – sen 45° sen 30° {Ya que, cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B}

= (1/√2) (√3/2) – (1/√2)(1/2)         {Puesto que, cos 45° = sen 45° = (1√2), cos 30° = √3/2 , sen 30° = 1/2}

= (√3 -1)/2√2

Por lo tanto, cos 75° = (√3 – 1)/2√2

Problema 3: Encuentra el valor de tan 105° usando las fórmulas de suma y diferencia.

Solución:

Podemos escribir 105° como la suma de 60° y 45°.

Usando la fórmula de la suma de la función tangente obtenemos,

bronceado 105° = bronceado (60° + 45°)

= (tan 60° + tan 45°)/(1 – tan 60° tan 45°)    {Ya que, tan (A + B) = (tan A + tan B)

= (√3 + 1)/(1 – (√3 × 1))                                {Ya que, tan 60° = √3, tan 45° = 1}

= (√3 + 1)/(1 – √3)

Racionaliza la expresión anterior con el conjugado del denominador.

= 

= (√3 + 1) ² /(1 – (√3) ² )

= (3 + 2√3 + 1)/(1 – 3)

= (4 + 2√3)/(-2)

= -2 – √3

Por lo tanto, tan 105° = -2 – √3.

Problema 4: Evalúa el valor de sen 15° usando las fórmulas de suma y diferencia.

Solución:

Podemos escribir 15° como la diferencia entre 45° y 30°.

Al usar la fórmula de diferencia de la función seno obtenemos,

sen 15° = sen (45° – 30°)

= sen 45° cos 30° – cos 45° sen 30°   {Ya que, sen (A – B) = sen A cos B – cos A sen B}

= (1/√2) (√3/2) – (1/√2)(1/2)           {Puesto que, cos 45° = sen 45° = (1√2), cos 30° = √3/2 , sen 30° = 1/2}

= (√3 – 1)/2√2

Por lo tanto, sen 15° = (√3 – 1)/2√2

Problema 5: Demostrar que sen (π/4 – a) cos (π/4 – b) + cos (π/4 – a) sen (π/4 – b) = cos (a + b).

Solución:

LHS = sen (π/4 – a) cos (π/4 – b) + cos (π/4 – a) sen (π/4 – b)

Si lo observamos en la forma de sen A cos B + cos A sen B

Sabemos que, sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B

= pecado [(π/4 – a) + (π/4 – b)]

= pecado [(π/2) – (a + b)]

= cos (a + b)             {Ya que, sin (90° – θ) = cos θ}

= RH S

Por lo tanto, probado.