Función de distribución de probabilidad

La distribución de probabilidad indica cómo se asignan las probabilidades sobre los distintos valores de una variable inesperada. Una distribución de probabilidad tiene varias pertenencias, como el valor predicho y la varianza, que se pueden calcular. Incluso cuando todos los valores de una variable inesperada están alineados en el gráfico, el valor de las probabilidades produce una forma.

En la distribución de probabilidad, el resultado de una variable inesperada es siempre incierto. Se conoce como el proceso que mapea el área de la muestra en el área de números reales, que se conoce como el área de estado. Sin embargo, aquí la observación del resultado se conoce como actualización.

Fórmula de función de distribución de probabilidad

La función de distribución de probabilidad es esencial para la función de densidad de probabilidad. Esta función es de gran ayuda porque nos informa de la probabilidad de una aventura que aparecerá en un intervalo determinado.

P(a<x<b) = ∫ ^segundo _a f(x)dx =   (1/σ√2π)e ^{[-(x – μ)²/2σ²]} dx

Dónde

P(a<x<b) es la probabilidad de que x esté en el intervalo (a,b) en cualquier instante de tiempo. Por ejemplo, P(-1<x<+1) = 0,3 significa que hay un 30 % de posibilidades de que x esté entre -1 y 1 para cualquier medida.

x es la variable aleatoria. 

μ es el valor medio

σ es la desviación estándar

Las fórmulas para dos tipos de distribución de probabilidad son:

Fórmula de distribución de probabilidad normal

También se entiende como difusión gaussiana y se dirige a la ecuación o gráfico que tiene forma de campana. La fórmula para una distribución de probabilidad estándar es como se expresa:

P(x) = (1/√2πσ²)e ^{−(x − μ)²/2σ²}

Dónde,

μ = Media

σ = Distribución estándar.

x = Variable aleatoria normal.

Nota: si la media (μ) = 0 y la desviación estándar (σ) = 1, esta distribución se describe como una distribución normal.

Fórmula de distribución de probabilidad binomial

Se define como la probabilidad que ocurrió cuando el evento consta de “n” intentos repetidos y el resultado de cada intento puede ocurrir o no. La fórmula para la probabilidad binomial es la siguiente:

p(r de n) = n!/r!(n − r)! × pags ^r (1 – pags) ^{norte – r} = ^norte C _r × pags ^r (1 – pags) ^norte-r

Dónde,

n = Número total de eventos

r = Número total de eventos exitosos

p = probabilidad de éxito en un solo ensayo

ⁿ C _r = n!/r!(n – r)!

1 – p = Probabilidad de falla

Diferentes tipos de distribuciones de probabilidad

Ya que ahora hemos visto lo que se comprende una distribución de probabilidad como ahora veremos distintos tipos de distribución de probabilidad. Un tipo de distribución de probabilidad se define por el tipo de una variable impredecible. Hay dos tipos de distribución de probabilidad.

1. Asignaciones de probabilidad discreta para variables discretas
2. Roles de espesor de probabilidad para variables continuas.

Distribución de probabilidad discreta

Una distribución discreta es una distribución de probabilidad que muestra la ocurrencia de resultados discretos (individualmente contables), como 1, 2, 3… o cero contra uno. La distribución binomial, por ejemplo, es una distribución discreta que estima la probabilidad de que ocurra un resultado de «sí» o «no» en un número dado de intentos, dada la probabilidad de éxito en cada intento, como lanzar una moneda doscientas veces y sosteniendo que el resultado sea «cruz».

Una asignación de probabilidad discreta se basa en sucesos que incluyen resultados contables o delimitados. Esto está en disparidad con una asignación constante, donde los resultados pueden caer en cualquier parte de un continuo. Ejemplos familiares de asignación discreta contienen las asignaciones binomiales, de Poisson y de Bernoulli. Estas asignaciones generalmente involucran estudios estadísticos de «cálculos» o «cuántas veces» sucede una aventura. En finanzas, las asignaciones discretas se utilizan para fijar precios y pronosticar sorpresas o caídas del mercado.

Pruebas de Bernoulli y distribuciones binomiales

Un ensayo de Bernoulli es aquel en el que la probabilidad de que suceda es p y la probabilidad de que no suceda es 1-p; es decir, el asunto tiene dos resultados probables (generalmente considerados como ganancia o pérdida) que suceden con probabilidad p y 1-p, respectivamente. Un juicio de Bernoulli es una instanciación de un asunto de Bernoulli. Tan prolongado como la probabilidad de ganar o perder se mantiene exacta desde un intento de intento (es decir, cada intento está separado de los demás), una serie de ensayos de Bernoulli se denomina procedimiento de Bernoulli. Entre otros hallazgos que se podrían lograr, este indica que para n intentos, la probabilidad de n victorias es p ⁿ .

La distribución de Bernoulli define la ganancia o la pérdida de un solo ensayo de Bernoulli. La distribución binomial describe el número de ganancias y pérdidas en n pruebas de Bernoulli autónomas para un valor dado de n. Por ejemplo, si un artículo fabricado tiene un defecto con probabilidad p, entonces la distribución binomial describe el número de ganancias y pérdidas en un conjunto de n objetos. En concreto, una selección de esta asignación da un total del número de objetos deficientes en un lote representativo. Otro ejemplo es el número de cruces que se obtienen al lanzar una moneda n veces.

Distribución binomial

Es una variable inesperada que describe el número de victorias en “N” ensayos liberados sucesivos de la investigación de Bernoulli. Se utiliza en una sobrecarga de ilustraciones como contener el número de caras en lanzamientos de moneda «N», y así sucesivamente.

Si Y es una variable aleatoria Binomial, indicamos este Y∼ Bin(n, p), donde p es la posibilidad de ganar en una prueba dada, q es la posibilidad de derrota, Sea ‘n’ el número total de pruebas y ‘x’ el número de victorias. Una variable aleatoria binomial tiene las siguientes propiedades:

P(Y) = ^norte C _x q ^{norte – x} pag ^x

Ahora la función de probabilidad P(Y) se conoce como la función de probabilidad de la distribución binomial.

Problemas Resueltos

Pregunta 1: Supongamos que lanzamos dos dados. Haz una tabla de probabilidades para la suma de los dados. Las posibilidades son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Solución:

Tabla de distribución de probabilidad

X	P(x)
2	1/36
3	2/36
4	3/36
5	4/36
6	5/36
7	6/36
8	5/36
9	4/36
10	3/36
11	2/36
12	1/36

Pregunta 2: La siguiente distribución de probabilidad describe el número de personas mayores que viven en casas en una manzana seleccionada al azar.

Número de Adultos	Probabilidad
(X)	P(x)
3	0.50
4	0.25
5	0.10
6	???

¿Cuál es la probabilidad de que en una casa seleccionada al azar vivan 6 o más ancianos?

Solución:-

La suma de todas las p(probabilidades) es igual a 1.

Así, la probabilidad de que seis o más ancianos vivan en una casa es igual a

= 1 – (0,50 + 0,25 + 0,10) o 0,15.

Pregunta 3: Sacamos dos cartas secuencialmente con alivio de un mazo de 52 cartas bien barajado. Encuentre la asignación de probabilidad de ver ases.  

Solución:

Definamos una variable aleatoria “X”, que significa un número de ases. Entonces, dado que solo estamos sacando dos cartas de la baraja, X solo puede tomar tres valores: 0, 1 y 2. También sabemos que estamos sacando cartas con un reemplazo, lo que significa que los dos sorteos pueden considerarse experimentos independientes.  

P(X = 0) = P(ambas cartas no son ases

= P(sin as) × P(sin as)  

=  

= 

P(X = 1) = P(una de las cartas en as)  

= P(sin as y luego as) + P(as y luego sin as)

= P(no as) × P(as) + P(as) × P(no as)

=  

= 

P(X = 2) = P(Ambas cartas son ases 

= P(as) × P(as)

= 

= 

Pregunta 4: Cuando se lanza una moneda justa 8 veces, la probabilidad de:

• exactamente cuatro cabezas
• al menos cuatro cabezas

Responder:

Cada moneda lanzada al aire puede considerarse como el juicio de Bernoulli. Suponga que X es el número de cabezas en este experimento:

norte = 8

pag = 1/2

Entonces, P(X = x) = ⁿ C _x p ^{n – x} (1 – p) ^x , x = 0, 1, 2, 3,…n

P(X = x) = ⁸ C _x p ^{8 – x} (1 – p) ^x

Cuando x = 4,

• P(x = 4) = ⁸ C ₄ p ⁴ (1 – p) ⁴

= 8!/4!4!(1/2) ⁴ (1/2) ⁴

= (8 × 7 × 6 × 5/2 × 3 × 4) × (1/16) × (1/16)

= 420/1536  

• P(al menos 4 caras) = ​​P(X >= 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)+ P(X = 7) + P(X = 8) .

= ⁸ C ₄ p ⁴ (1 – p) ⁴ + ⁸ C ₅ p ³ (1 – p) ⁵ + ⁸ C ₆ p ² (1 – p) ⁶ + ⁸ C ₇ p ¹ (1 – p) ⁷ + ⁸ C ₈ (1 – p) ⁸

= 8!/4!4!(1/2) ⁸ + 8!/5!3!(1/2) ⁸ + 8!/6!2!(1/2) ⁸ + 8!/7!1! (1/2) ⁸ + 8!/8!(1/2) ⁸

= 8 × 7 × 6 × 5/4 × 3 × 2 × 256 + 8 × 7 × 6/3 × 2 × 256 + 8/256 + 1/256

= 1680/6144 + 336/1536 + 9/256

= 70/256 + 56/256 + 9/256

= 135/256

Pregunta 5: Un frasco incluye 6 bolas rojas y 9 bolas negras. Extraemos seis bolas del frasco consecutivamente. Tienes que revelar si las pruebas de sacar bolas son o no pruebas de Bernoulli cuando después de cada sorteo, la bola extraída es:

• sustituido
• no se reemplaza en un frasco.

Responder:

Se entiende que el número de ensayos es limitado. Cuando se logra tirar con reemplazo, la probabilidad de ganar (digamos, bola roja) es p = 6/15, que será la misma para las seis pruebas. Entonces, sacar balones con reemplazos es la prueba de Bernoulli.

Si se tira sin reemplazo, la probabilidad de ganar (es decir, bola roja) en el primer intento es 6/15, en el segundo intento es 5/14 si la primera bola extraída es roja o 9/15, si la primera bola es roja. dibujado, es negro, etc. Sin duda, las posibilidades de ganar no son las mismas para todas las pruebas, por lo que las pruebas no son pruebas de Bernoulli.

Pregunta 6: Calcula la probabilidad de obtener 10 caras, si se lanza una moneda 12 veces.

Solución:

Dado,

Número de ensayos (n) = 12

Número de éxitos (r) = 10 (obtener 10 cabezas)

Probabilidad de cabeza única (p) = 1/2 = 0.5

Para encontrar ⁿ C _r = n!/r!(n – r)!

= 12!/10!(12 – 10)!

= 12 × 11 × 10!/10!2!

= 66

Para encontrar p ^r = 0.5 ¹⁰ = 0.00097665625

Entonces, la probabilidad de obtener 10 caras es:

P(x) = ⁿ C _r p ^r (1 – p) ^{n – r} = 66 × 0,00097665625 × (1 – 0,5) ^(12-10) = 0,0644593125 × 0,5 ² = 0,016114828125

La probabilidad de sacar 10 caras = 0.0161…

Pregunta 7: Suponga que cada vez que lanza un tiro libre, tiene un 35% de posibilidades de hacerlo. Si toma 25 tiros, ¿cuál es la probabilidad de hacer exactamente 15 de ellos?

Solución:

Dado,

n = 25, r = 15, p = 0,35, q = 0,65

Calcular

C _25,15 0,35 ¹⁵ 0,65 ¹⁰ = 0,165

Hay un 16,5% de posibilidades de hacer exactamente 15 tiros.

Pregunta 8: Hay un total de 5 personas en la sala, ¿cuál es la posibilidad de que alguien en la sala comparta su cumpleaños con al menos otra persona?

Solución:

P(s) = p(al menos alguien comparte con otra persona)                        

P(d) = p(nadie comparte su cumpleaños todos tienen un cumpleaños diferente)

p(s) + p(d) = 1 o 100%

p(s) =100% – p(d)

Hay 5 personas en la habitación, la posibilidad de que nadie comparta su cumpleaños

= 365 × 364 × 363 × … × 336 ⁄ 365 ⁵ = (365! ⁄ (365 – 5)!) ⁄ 365 ⁵

= (365! ⁄ 360!) ⁄ 365 ⁵ = 0,9728

p(d) = 0,9728 o 97,28%

p(s) = 100% – p(d)

= 100 % – 97,28 % o 1 – 0,9728

= 2,72% ≈ 0,0272