Funciones invertibles

Como sugiere el nombre, Invertible significa » inversa «, la función Invertible significa la inversa de la función. Las funciones inversas, en el sentido más general, son funciones que se “ invierten ” entre sí. Por ejemplo, si f lleva a a b, entonces el inverso, f ^-1 , debe llevar b a a.

La inversa de una función se denota por f ^-1

En otras palabras, podemos definir como, Si f es una función, el conjunto de pares ordenados obtenidos al intercambiar la primera y la segunda coordenadas de cada par ordenado en f se llama el inverso de f . Entendamos esto con la ayuda de un ejemplo.

Ejemplo: 

función g = {(0, 1), (1, 2), (2,1)}, aquí tenemos que encontrar el g ^-1

Como sabemos, g ^-1 se forma intercambiando las coordenadas X e Y.

g = {(0, 1), (1, 2), (2, 1)} -> intercambiando X e Y, obtenemos

gramo ^-1 = {(1, 0), (2, 1), (1, 2)}

Así que esta es la inversa de la función g.

Gráfico de función inversa

Podemos verificar si la función es invertible o no trazando en el gráfico. Podemos trazar el gráfico usando la función dada y verificar la invertibilidad de esa función, ya sea que la función sea invertible o no. Tracemos el gráfico de la función y verifiquemos si es invertible o no para f(x) = 3x + 6. Esta función tiene el intercepto 6 y las pendientes 3. Tracemos el gráfico de esta función

Ejemplo:

Averigüemos el inverso de la función dada.

f (x) = 3x + 6 

Intercambiar x con y 
x = 3y + 6
x – 6 = 3y
 

y = (x – 6) / 3

y = (1/3)x/3

f ^-1 (x) = (1/3)x/3 

Ahora tracemos la gráfica para f ^-1 (x) . El inverso de una función que tiene intercepto y pendiente 3 y 1/3 respectivamente.

Una función y su inversa serán simétricas alrededor de la recta y = x. Entonces se dice que la función es invertible. Entonces, dibujemos la línea entre la función y el inverso de la función y verifiquemos si se separó simétricamente o no.

Después de trazar la línea recta y = x, observamos que la línea recta interseca la línea de ambas funciones simétricamente. Entonces, la función f(x) es una función invertible y de esta manera, podemos trazar el gráfico de una función inversa y verificar la invertibilidad.

Condiciones para que la función sea invertible

Condición: Para probar que la función es invertible, necesitamos probar que la función es uno a uno y sobre, es decir, biyectiva.

Explicación

Podemos decir que la función es uno a uno cuando cada elemento del dominio tiene una sola imagen con codominio después del mapeo. Podemos decir que la función es Sobre cuando el Rango de la función debe ser igual al codominio. Cuando demostramos que la función dada es uno a uno y sobre, entonces podemos decir que la función dada es invertible. Veamos algunos ejemplos para entender correctamente la condición.

Ejemplo 1: Sean A : R – {3} y B : R – {1}. Considere la función f : A -> B definida por f(x) = (x – 2) / (x – 3). Muestre que la función f(x) es invertible y, por lo tanto, encuentre f ^-1 .

Solución: 

Para mostrar que la función es invertible, tenemos que verificar que la condición de la función sea invertible como discutimos anteriormente. Para mostrar que la función es invertible, primero debemos verificar que la función sea uno a uno o no, así que verifiquemos.

Sean x, y ∈ A tales que f (x) = f (y)
 

=> (x – 2) / (x – 3) = (y – 2) / (y – 3)

=> (x – 2) (y – 3) = (x – 3) (y – 2)

=> xy – 3y – 2y + 6 = xy – 2x – 3y + 6

=> -3x + 2y + 6 = xy – 2x – 3y + 6

=> -3x + 2x = -3 + 2y 

=> -x = -y
=> x = y

Como f (x) = f (y) => x = y, ∀x, y ∈ A, entonces la función es uno a uno.

Hemos probado que la función es Uno a Uno. Ahora vamos a buscar Onto. Para mostrar que f(x) es sobre, mostramos que el rango de f(x) = su codominio. 

Sea y = (x – 2) / (x – 3)

Ponga f (x) = y.

=> xy – 3y = x – 2

=> xy – x = 3y – 2

=> x(y – 1) = 3y – 2

=> x = (3y – 2) / (y -1) —-(1)
 

Dado que x ∈ R – {3}, ∀y R – {1}, el rango de f viene dado por = R – {1}. También codominio de f = R – {1}.

Por lo tanto, Range = Codomain => f es Onto función 

Como se cumplen ambas condiciones, la función es tanto uno a uno como sobre, por lo tanto, la función f (x) es invertible. Ahora, como se hizo la pregunta después de probar la función Invertible, tenemos que encontrar f ^-1

de la ecuación (1) obtenemos,

f ^-1 (y) = (3y – 2) / (y – 1)

 => f – ¹ (x) = (3x – 2) / (y – 1) 

Ejemplo 2: Demostrar que f: R – {0} -> R – {0} dada por f(x) = 3 / x es invertible.

Solución: 

Para mostrar la función f(x) = 3 / x es invertible.

Tenemos que comprobar primero si la función es uno a uno o no.

Sea x ₁ , x ₂ ∈ R – {0}, tal que f(x ₁ ) = f(x ₂ ). Después,

f(x1 ₎ = f( _x2 )

=> 3 / x ₁ = 3 / x ₂
=> x ₁ = x ₂

Por lo tanto, f(x ₁ ) = f(x ₂ ) 

=> x ₁ = x ₂ ∀x, y ∈ R – {0}

Entonces, la función f es uno a uno.

Hemos probado que la función es Uno a Uno, ahora veamos si la función es Sobre o no.

Sea y un elemento arbitrario de R – {0}.

Entonces para y en el codominio R – {0},

existe su pre-imagen en el dominio R – {0}. Entonces f es sobre.

Como probamos la función tanto uno a uno como sobre, la función es invertible.

Ejemplo 3: Considere f: R ⁺ -> [4, ∞] dada por f(x) = x ² + 4. Demuestre que f es invertible, donde R ⁺ es el conjunto de todos los números reales no negativos.

Solución: 

Para mostrar que la función es invertible o no, tenemos que probar que la función es uno a uno y sobre, es decir, biyectiva

Verifiquemos uno a uno.

Aquí función f : R ⁺ -> [4, infinito)

Dado por f (x) = x ² + 4,

Sean x, y ∈ R+, tales que f(x) = f(y)
 

=> x ² + 4 = y ² + 4
 

=> ^x2 = ^y2
 

=> x = y [Ya que tenemos que tomar solo el signo +ve como x, y ∈ R ⁺ ]

Por lo tanto, f es una función uno a uno.

 

Ahora, tenemos que buscar Onto.

Para y ∈ [4, infinito), sea y = x ² + 4
 

=> x ² = y – 4 ≥ 0 

=> x = √(y – 4) ≥ 0 [tomamos solo el signo +ve, ya que x ∈ R ⁺ ]
 

Por lo tanto, para cualquier y ∈ R ⁺ (codominio), existe
 

x = √(y – 4) R ⁺ (dominio) tal que
 

f (x) = f(√(y-4)) = (√(y – 4)) ² + 4 = y – 4 + 4 = y
 

Por lo tanto, f es sobre la función. 

Como la función f(x) es uno a uno y sobre, la función f(x) es invertible.

Determinar si una función es invertible

Como habíamos discutido anteriormente las condiciones para que la función sea invertible, las mismas condiciones las comprobaremos para determinar si la función es invertible o no. Entonces, tomemos algunos de los problemas para comprender correctamente cómo podemos determinar si la función es invertible o no.

Ejemplo 1: Sif es una función invertible, definida como f(x) = (3x -4) / 5 , luego escribe f ^-1 (x).

Solución:

En la pregunta dada que f(x) = (3x – 4) / 5 es un invertible y tenemos que encontrar el inverso de x. Entonces, primero tenemos que convertir la ecuación en los términos de x. En la figura de abajo, la última línea hemos encontrado el inverso de x e y. Entonces, esta es nuestra respuesta requerida.

Dado, f(x) (3x – 4) / 5 es una función invertible.

Sea, y = (3x – 5) / 5
5y = 3x – 4
3x = 5y + 4
x = (5y – 4) / 3
 

Por lo tanto, f ^-1 (y) = (5y – 4) / 3 o f ^-1 (x) = (5x – 4) / 3

Ejemplo 2: f : R -> R definido por f(x) = 2x -1, encuentre f ^-1 (x)?

Solución:

Como hicimos en la pregunta anterior, lo mismo tenemos que hacer en esta pregunta también. En la pregunta sabemos que la función f (x) = 2x – 1 es invertible. Tengamos y = 2x – 1, luego para encontrar su inversa solo tenemos que intercambiar las variables.

Dado, 

f (x) = 2x -1 = y es una función invertible.
 

Sea, y = 2x – 1
Inversa: x = 2y – 1
por lo tanto, f ^-1 (x) = (x + 1) / 2 

Ejemplo 3: Muestre que la función f: R -> R, definida como f(x) = 4x – 7 es invertible o not, también encuentre f ^-1 .

Solución:

En la pregunta, dada la función f: R -> R f(x) = 4x – 7. Tenemos que comprobar si la función es invertible o no. Entonces, para verificar si la función es invertible o no, debemos seguir la condición en el artículo anterior, hemos discutido la condición para que la función sea invertible. Entonces, como aprendimos de las condiciones anteriores, si nuestra función es tanto uno a uno como sobre, entonces la función es invertible y si no lo es, entonces nuestra función no es invertible. Entonces, resolvamos el problema primero, estamos verificando en la figura a continuación si la función es One-One o no.

La función One-One significa que cada elemento del dominio tiene solo una imagen en su codominio. Así que verificamos One-One en la figura a continuación y descubrimos que nuestra función es One-One. Ahora, el siguiente paso que tenemos que dar es comprobar si la función es Onto o no. La función es Onto solo cuando el codominio de la función es igual al rango de la función, lo que significa que todos los elementos del codominio deben asignarse con un elemento del dominio. Entonces, habíamos verificado que la función es Onto o no en la figura a continuación y encontramos que nuestra función es Onto. Entonces, la condición de que la función sea invertible se cumple, lo que significa que nuestra función es uno a uno sobre. Por lo tanto, podemos probar que nuestra función es invertible.

Dado, f : R -> R tal que f(x) = 4x – 7
 

Para uno a uno:

Sean x ₁ y x ₂ elementos cualesquiera de R tales que f(x ₁ ) = f(x ₂ ), Entonces 

f(x ₁ ) = f(x ₂ )
4x ₁ – 7 = 4x ₂ – 7
4x ₁ = 4x ₂
x ₁ = x ₂
Entonces, f es uno a uno
 

para sobre:

Sea y = f(x), y pertenece a R. Entonces,
y = 4x – 7
x = (y+7) / 4

Desde arriba se ve que para cada valor de y, existe su preimagen x.

Entonces, f es sobre 

Por lo tanto, f es uno a uno sobre, es invertible.

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones inversas son de muchos tipos, como funciones trigonométricas inversas, funciones logarítmicas inversas, funciones racionales inversas, funciones racionales inversas, etc. En la siguiente tabla se encuentra la lista de funciones trigonométricas inversas con su dominio y rango.

Función trigonométrica inversa	Dominio	Rango
sen -1 (x)	[-1, 1]	[-pastel / 2, pastel / 2]
porque -1 (x)	[-1, 1]	[0, tarta]
bronceado -1 (x)	R	(-tarta / 2 , tarta / 2)
segundo -1 (x)	R – (-1, 1)	[0, pastel] – {pastel / 2}
cosec -1 (x)	R – (-1, 1)	[ – tarta / 2, tarta / 2] – {0}
cuna -1 (x)	R	(0, pastel)

Encontrar la función inversa usando álgebra

Ejemplo 1: Encuentra el inverso de la función f(x) = (x + 1) / (2x – 1), donde x ≠ 1 / 2

Solución:

Para encontrar la función inversa tenemos que aplicar un proceso muy simple, simplemente ponemos la función en igual a y.

(x+1) / (2x-1) = y

x +1 = 2xy – y

x-2xy = -y – 1

x(1- 2y) = -y – 1

x = (-y – 1) / (1 – 2y)

Tomando el signo negativo común, podemos escribir ,

x = (1 + y) / (2y – 1)

f ^-1 (x) = (1 + x / (2x – 1)

Este es el inverso requerido de la función.

Ejemplo 2: Resuelve: f(x) = 2x / (x -1)

Solución:

Como hicimos arriba, igualamos la función a y, obtenemos

2x / (x – 1) = y

2x = xy – y

2x – xy = -y

Tomando x común del lado izquierdo

x (2 – y) = -y

x = -y / (2 – y)

Tomando y común del denominador obtenemos,

x = y / (y – 2)

f ^-1 (x) = x / (x – 2) 

Este es el inverso requerido de la función.

Ejemplo 3: Encuentra el inverso de la función f(x) = 2x ² – 7x + 8

Solución:

Seguimos el mismo procedimiento para resolver este problema también,

igualamos la función a y, obtenemos

 2x ² – 7x + 8 = y

Tomando 2 comunes del lado izquierdo

2 [ x ² – (7 / 2) x + 4] = y

Para hacer el cuadrado perfecto de (x – y) ² , 

tenemos que dividir y multiplicar por 2 con el segundo término de la expresión.

Sumar y restar 49 / 16 después del segundo término de la expresión.

Obtenemos,

2[ x ² – 2. (7 / 2*2). x + 49 / 16 – 49 / 16 +4] = y

Mira atentamente la parte subrayada, es la fórmula (x – y) ² = x ² – 2xy + y ²

Podemos escribir esto,

2(x – (7 / 4)) ² – 49 / 8 + 8 = y

2(x – (7 / 4)) ² = y – (15 / 8)

(x – (7 / 4)) ² = (y / 2) – (15 / 8)

Ahora, quita la raíz cuadrada,

x – (7 / 4) = raíz cuadrada ((y / 2) – (15 / 32))

x = (7 / 4) + raíz cuadrada ((y / 2) – (15 / 32))

f ^-1 (x) = (7 / 4) + raíz cuadrada ((x / 2) – (15 / 32))

Este es el inverso requerido de la función. 

Restricción de dominios de funciones para hacerlos invertibles

Como sugiere el encabezado anterior, para hacer que la función no sea invertible, debemos restringir o establecer el dominio en el que nuestra función debe convertirse en una función invertible. Sabemos que la función es algo que toma un conjunto de números, y toma cada uno de esos números y los asigna a otro conjunto de números. Así que si empezamos con un conjunto de números.

X	f(x)
0	-8
2	-6
-2	-6

La tabla anterior muestra que estamos probando diferentes valores en el dominio y al ver el gráfico tomamos la idea del valor de f(x). Cuando x = 0 entonces lo que nos dice nuestra gráfica es que el valor de f(x) es -8, de la misma manera para 2 y -2 obtenemos -6 y -6 respectivamente. Como vemos en la tabla anterior al dar 2 y -2, tenemos la salida -6, está bien para la función, pero no debería ser una función invertible más larga. Entonces, en el gráfico la función definida no es invertible, ¿por qué no debería ser invertible?, porque dos de los valores de x mapean el valor único de f(x) como vimos en la tabla anterior. Para que la función sea invertible, debes encontrar una función que mapee al revés, lo que significa que puedes encontrar el inverso de esa función, así que veamos

y = f(x)	x = f -1 (y)
-8	0
-6	2 o -2?

Entonces, si encontramos el inverso y damos -8, el inverso es 0, debería estar bien, pero cuando damos -6 encontramos algo interesante, estamos obteniendo 2 o -2, significa que esta función ya no será invertible. , demostrado en el siguiente gráfico.

De la misma manera, si verificamos 4, obtenemos dos valores de x como se muestra en el gráfico anterior. Ahora, tenemos que restringir el dominio para que nuestra función se vuelva invertible. Entonces, podemos restringir el dominio de dos maneras 

• (0, ∞)
• (-∞, 0)

Probemos el primer enfoque, si restringimos el dominio de 0 a infinito, entonces tenemos el gráfico como este

Tenemos este gráfico y ahora, cuando verificamos el gráfico para cualquier valor de y, obtenemos un valor de x, de la misma manera, si verificamos cualquier número entero positivo de y, obtenemos solo un valor de x. Ahora, probemos nuestro segundo enfoque, en el que estamos restringiendo el dominio de -infinito a 0. Si trazamos el gráfico, nuestro gráfico se ve así.

En este gráfico estamos comprobando que y = 6 estamos obteniendo un solo valor de x. Ahora, si verificamos cualquier valor de y, obtendremos un solo valor de x. Entonces, en nuestros dos enfoques, nuestro gráfico está dando un solo valor, lo que lo hace invertible. Entonces, nuestro dominio restringido para hacer que la función sea invertible son

• (0, ∞)
• (-∞, 0)