Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las funciones trigonométricas. Hay inversas de las funciones seno, coseno, cosecante, tangente, cotangente y secante . También se denominan funciones arcus, funciones antitrigonométricas o funciones ciclométricas. Estas funciones inversas en trigonometría se utilizan para obtener el ángulo con cualquiera de las razones trigonométricas. Analicemos cada función trigonométrica inversa en detalle.

arcoseno

La función arcoseno es una inversa de la función seno denotada por sen ^-1 x. Devuelve el ángulo cuyo seno corresponde al número proporcionado.

sinθ = (Opuesto/Hipotenusa)

=> sen ^-1 (Opuesto/Hipotenusa) = θ

El teorema del seno inverso es: d/dx sen ^-1 x = 1/√(1 – x ² )

Prueba:

sen(θ) = x

ahora,

f(x) = sen ^-1 x ..(eq1)

valor sustitutivo de sin en eq(1)

f(sen(θ)) = θ

f'(sin(θ))cos(θ) = 1 .. derivando la ecuación

lo sabemos,

sen ² θ+ cos ² θ= 1

asi que,

cos = √(1 – x ² )

f'(x) = 1/√(1 – x ² )

ahora,

d/dx sen ^-1 x = 1/√(1 – x ² )

por lo tanto probado.

Ejemplo:

sen ^-1 (1/2) = π/6

arcocoseno

La función arcocoseno es una inversa de la función seno denotada por cos ^-1 . Devuelve el ángulo cuyo coseno corresponde al número proporcionado.

cosθ = (Hipotenusa/Adyacente)

=> cos ^-1 (Hipotenusa/Adyacente) = θ

El teorema del cos inverso es: d/dx cos ^-1 (x) = -1/√(1 – x ² )

Prueba:

cos(θ) = x

θ = arccos(x)

dx = dcos(θ) = −sin(θ)dθ .. diferenciar la ecuación

ahora,

lo sabemos,

sen ² + cos ² = 1

asi que,

cos = √(1 – x ² )

−sen(θ) = −sen(arcos(x)) = -√(1 – x ² )

dθ/dx = −1/sen(θ) = -1/√(1 – x ² )

asi que,

dθ/dx cos ^-1 (x) = -1/√(1 – x ² )

por lo tanto probado.

Ejemplo:

cos ^-1 (1/2) = π/3

arcotangente

La función arcotangente es una inversa de la función tangente denotada por tan ^-1 . Devuelve el ángulo cuya tangente corresponde al número proporcionado.

tanθ = (Opuesto/Adyacente)

=> tan ^-1 (Opuesto/Adyacente) = θ

El teorema de tan inversa es: d/dx tan ^-1 (x) = 1/(1 + x ² )

Prueba:

tan(θ) = x

θ = arctan(x)

lo sabemos,

bronceado ² θ + 1 = segundo ² θ

dx/dθ = sec ² y .. diferenciando la función tan

dx/dθ = 1+x ²   

por lo tanto,

dθ/dx = 1/(1 + x ² )

por lo tanto probado.

Ejemplo:

bronceado ^-1 (1) = π/4

Restricción de dominios de funciones para hacerlos invertibles

Una función real en el rango ƒ : R ⇒ [-1 , 1] definida por ƒ(x) = sin(x) no es una biyección ya que diferentes imágenes tienen la misma imagen como ƒ(0) = 0, ƒ(2π ) = 0,ƒ(π) = 0, entonces, ƒ no es uno-uno. Dado que f no es una biyección (porque no es uno a uno), la inversa no existe. Para hacer una función biyectiva podemos restringir el dominio de la función a [−π/2, π/2] o [−π/2, 3π/2] o [−3π/2, 5π/2] después de la restricción de dominio ƒ(x) = sin(x) es una biyección, por lo tanto ƒ es invertible. es decir, para hacer sin(x) podemos restringirlo al dominio [−π/2, π/2] o [−π/2, 3π/2] o [−3π/2, 5π/2] o……. pero [−π/2, π/2] es la solución principal de sinθ, por lo tanto, hacer que senθ sea invertible. Naturalmente, el dominio [−π/2, π/2] debe considerarse si no se menciona ningún otro dominio.

• ƒ: [−π/2 , π/2] ⇒ [-1 , 1] se define como ƒ(x) = sin(x) y es una biyección, por lo que existe inversa. El inverso de sen ^-1 también se denomina arcoseno y las funciones inversas también se denominan funciones de arco.
• ƒ:[−π/2 , π/2] ⇒ [−1 , 1] se define como sinθ = x ⇔ sin ^-1 (x) = θ , θ pertenece a [−π/2 , π/2] y x pertenece a [−1, 1].

De manera similar, restringimos los dominios de cos, tan, cot, sec, cosec para que sean invertibles.

Dominio y rango de funciones inversas

Función	Dominio	Rango
pecado -1	[ -1 , 1 ]	[ −π/2, π/2 ]
porque -1	[ -1 , 1 ]	[ 0, π ]
bronceado -1	R	[ −π/2 , π/2 ]
cuna -1	R	[ 0 , π ]
segundo -1	( -∞ , -1 ] U [ 1,∞ )	[ 0 , π ] − { π/2 }
cosec -1	( -∞ , -1 ] U [ 1 , ∞ )	[ −π/2 , π/2 ] – { 0 }

Usar funciones trigonométricas inversas con una calculadora

En una calculadora científica, es posible encontrar funciones trigonométricas inversas así como funciones trigonométricas. Para encontrar funciones trigonométricas de un ángulo, ingrese el ángulo elegido en grados o radianes. Debajo de la calculadora, aparecerán seis funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. De manera similar, para encontrar funciones trigonométricas inversas en una calculadora científica, vaya al botón de cambio en la calculadora y presiónelo, luego seleccione cualquier función trigonométrica estándar como seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Esto le permitirá utilizar funciones trigonométricas inversas.

Funciones trigonométricas inversas

Funciones periódicas:

Dado que las funciones trigonométricas son periódicas, sus funciones inversas se varían para escribirlas en el formato estándar que usamos las ecuaciones proporcionadas a continuación.

arcsen(x) = (-1) ⁿ arcsen x + πn

arccos(x) = ±arcos x + 2πn

arctan(x) = arctan(x) + πn

arccot(x) = arccot(x) + πn

donde n = 0, ±1, ±2, ….

Sustituyendo funciones trigonométricas en diferentes funciones:

• tan(x) = sen(x)/√(1 – sen ² (x)) , x ∈ ( -π/2 , π/2 )
• arcsen(a) = arctan(a/√(1 – a ² )) , |a| < 1

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas:

d/dx sen ^-1 (x) = 1/√(1 – x ² )

d/dx cos ^-1 (x) = -1/√(1 – x ² )

d/dx tan ^-1 (x) = 1/(1 + x ² )

d/dx cuna ^-1 (x) = -1/(1 + x ² )

Propiedades de diferentes funciones trigonométricas

Conjunto 1: Propiedades del pecado

1) sen(θ) = x ⇔ sen ^-1 (x) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ], x ∈ [ -1 , 1 ]  

2) sen ^-1 (sen(θ)) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ]

3) sen(sen ^-1 (x)) = x , x ∈ [ -1 , 1 ]

Ejemplos:

• sen(π/2) = 1 ⇒ sen ^-1 (1) = π/2
• sen ^-1 (sen(π/2)) = π/2
• pecado(pecado ^-1 (1)) = 1

Conjunto 2: Propiedades de cos

4) cos(θ) = x ⇔ cos ^-1 (x) = θ , θ ∈ [ 0 , π ] , x ∈ [ -1 , 1 ]  

5) cos ^-1 (cos(θ)) = θ , θ ∈ [ 0 , π ]

6) cos(cos ^-1 (x)) = x , x ∈ [ -1 , 1 ]

Ejemplos:

• cos(π/3) = 1/2 ⇒ cos ^-1 (1/2) = π/3
• cos ^-1 (cos(π/3)) = π/3
• cos(cos ^-1 (1/2)) = 1/2

Conjunto 3: Propiedades del bronceado

7) tan(θ) = x ⇔ tan ^-1 (x) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ] , x ∈ R

8) tan ^-1 (tan(θ)) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ]

9) tan(tan ^-1 (x)) = x , x ∈ R

Ejemplos:

• bronceado(π/4) = 1 ⇒ bronceado ^-1 (1) = π/4
• tan ^-1 (tan(π/4)) = π/4
• tan(tan ^-1 (1)) = 1

Conjunto 4: Propiedades de la cuna

10) cuna(θ) = x ⇔ cuna ^-1 (x) = θ , θ ∈ [ 0 , π ] , x ∈ R

11) cuna ^-1 (cuna(θ)) = θ , θ ∈ [ 0 , π ]

12) cuna(cot ^-1 (x)) = x , x ∈ R

Ejemplos:

• cuna(π/4) = 1 ⇒ cuna ^-1 (1) = π/4
• cuna(cuna ^-1 (π/4)) = π/4
• cuna(cuna(1)) = 1

Conjunto 5: Propiedades de sec

13) seg(θ) = x ⇔ seg ^-1 (x) = θ , θ ∈ [ 0 , π] – { π/2 } , x ∈ (-∞,-1] ∪ [1,∞)

14) segundo ^-1 (segundo(θ)) = θ , θ ∈ [ 0 , π] – { π/2 }

15) segundo(segundo ^-1 (x)) = x , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1 , ∞ )

Ejemplos:

• segundo(π/3) = 1/2 ⇒ segundo ^-1 (1/2) = π/3
• segundo ^-1 (segundo(π/3)) = π/3
• segundo(segundo ^-1 (1/2)) = 1/2

Conjunto 6: Propiedades de cosec

16) cosec(θ) = x ⇔ cosec ^-1 (x) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ] – { 0 } , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1,∞ )

17) cosec ^-1 (cosec(θ)) = θ , θ ∈[ -π/2 , π ] – { 0 }

18) cosec(cosec ^-1 (x)) = x , x ∈ ( -∞,-1 ] ∪ [ 1,∞ )

Ejemplos:

• cosec(π/6) = 2 ⇒ cosec ^-1 (2) = π/6
• cosec ^-1 (cosec(π/6)) = π/6
• cosec(cosec ^-1 (2)) = 2

Conjunto 7: Otras fórmulas trigonométricas inversas

19) sen ^-1 (-x) = -sen ^-1 (x) , x ∈ [ -1 , 1 ]  

20) cos ^-1 (-x) = π – cos ^-1 (x) , x ∈ [ -1 , 1 ]

21) tan ^-1 (-x) = -tan ^-1 (x) , x ∈ R

22) cuna ^-1 (-x) = π – cuna ^-1 (x) , x ∈ R

23) segundo ^-1 (-x) = π – segundo ^-1 (x) , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1 , ∞ )

24) cosec ^-1 (-x) = -cosec ^-1 (x) , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1 , ∞ )

Ejemplos:

• pecado ^-1 (-1/2) = -sen ^-1 (1/2)
• cos ^-1 (-1/2) = π -cos ^-1 (1/2)
• tan ^-1 (-1) = π -tan ^-1 (1)
• cuna ^-1 (-1) = -cuna ^-1 (1)
• segundo ^-1 (-2) = π -segundo ^-1 (2)
• coseg ^-1 (-2) = -coseg ^-1 (x)

Conjunto 8: Suma de dos funciones trigonométricas

25) sen ^-1 (x) + cos ^-1 (x) = π/2 , x ∈ [ -1 , 1 ]

26) tan ^-1 (x) + cot ^-1 (x) = π/2 , x ∈ R

27) seg ^-1 (x) + cosec ^-1 (x) = π/2 , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1 , ∞ )

Prueba:

sen ^-1 (x) + cos ^-1 (x) = π/2 , x ∈ [ -1 , 1 ]

sea ​​sen ^-1 (x) = y

ahora,

x = sen y = cos((π/2) − y)

⇒ cos ^-1 (x) = (π/2) – y = (π/2) −sen ^-1 (x)

entonces, sen ^-1 (x) + cos ^-1 (x) = π/2                                        

tan ^-1 (x) + cot ^-1 (x) = π/2 , x ∈ R

Sea tan ^-1 (x) = y

ahora, cot(π/2 − y) = x

⇒ cot ^-1 (x) = (π/2 − y)

tan ^-1 (x) + cot ^-1 (x) = y + π/2 − y

entonces, tan ^-1 (x) + cot ^-1 (x) = π/2

De manera similar, también podemos demostrar el teorema de la suma de arcsec y arccosec.

Conjunto 9: Conversión de funciones trigonométricas

28) sen ^-1 (1/x) = cosec ^-1 (x) , x≥1 o x≤−1

29) cos ^-1 (1/x) = seg ^-1 (x) , x ≥ 1 o x ≤ −1

30) tan ^-1 (1/x) = −π + cot ^-1 (x)

Prueba:

sen ^-1 (1/x) = cosec ^-1 (x) , x ≥ 1 o x ≤ −1

sea, x = cosec(y)

1/x = sen(y)

⇒ sen ^-1 (1/x) = y

⇒ sen ^-1 (1/x) = cosec ^-1 (x)

De manera similar, también podemos demostrar el teorema de arccos y arctan.

Ejemplo:

sen ^-1 (1/2) = cosec ^-1 (2)