Las ecuaciones que involucran una o más funciones motrigonométricas se llaman ecuaciones trigonométricas. Se expresa como razones de los ángulos seno(sen), coseno(cos), tangente(tan), cotangente(cot), secante(seg), cosecante(cosec). Por ejemplo, sin3x = 1/2, tan2x = √3, 2sinx + 1 = 0 son todos ejemplos de ecuaciones trigonométricas.
La solución de una ecuación trigonométrica
Los valores de un ángulo desconocido que satisfacen cualquier ecuación trigonométrica dada se conocen como la solución de una ecuación trigonométrica y el proceso de encontrar el conjunto solución se llama resolver la ecuación trigonométrica. Consideremos una ecuación simple, digamos tan x = 1 . Aquí, como puede ver, x = pi/4, 5pi/4, 9pi/4 , etc. son algunas de las soluciones que pueden satisfacer la ecuación anterior.
Nota: No es necesario que toda ecuación trigonométrica tenga una solución. Por ejemplo, tan x = 5 como ninguna solución.
Solución general
El conjunto de todas las soluciones se denomina conjunto solución o solución general de una ecuación trigonométrica. En otras palabras, una solución general es una expresión que involucra un número entero ‘n’ que da todas las soluciones. Considere la ecuación, 2cos x + 1 = 0 o cos x = -1/2 . Esta ecuación se cumple claramente con x = 2pi/3, 4π/3 , etc. Aquí, x = 2pi/3, 2pi ± 2pi/3, 4pi ± 2pi/3 …. son todas soluciones de la ecuación trigonométrica anterior, 2cosx + 1 = 0. Ahora, como puede ver, estas soluciones se pueden juntar en forma compacta como 2n.pi ± 2pi/3 , donde ‘n’ puede tomar el valor de números enteros .
Nota : Todas las funciones trigonométricas son de naturaleza periódica. Entonces, si una ecuación trigonométrica tiene una solución, tendrá infinitas soluciones.
Solución general de algunas ecuaciones trigonométricas estándar:
|
Ecuación |
Solución general |
|---|---|
|
sen x = 0 |
x = n.pi |
|
porque x = 0 |
x = n.pi + pi/2 |
|
bronceado x = 0 |
x = n.pi |
|
sen x = sen y |
x = n.pi + (-1) n , donde y ∈ [-pi/2, pi/2] |
|
cos x = cos y |
x = 2n.pi ± y, donde y ∈ (0, pi] |
|
bronceado x = bronceado y |
x = n.pi + y, donde y ∈ (0, pi] |
|
sen 2x = sen 2y |
x = n.pi ± y |
|
cos 2x = cos 2y |
x = n.pi ± y |
|
bronceado 2x = bronceado 2y |
x = n.pi ± y |
Ejemplos: ¿Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones?
(i) sen mx + sen nx = 0
Solución:
Tenemos,
sen mx + sen nx = 0
⇒ 2 sen((m + n) / 2)x cos ((m – n) / 2)x = 0
⇒ sen((m + n) / 2)x o cos ((m – n) / 2)x = 0
Ahora, sen((m + n) / 2)x = 0
⇒ ((m + n) / 2)x = k.pi, k ∈ Z
⇒ x = 2k.pi / (m + n), k ∈ Z
Y, cos ((m – n) / 2)x = 0
⇒ ((m – n) / 2)x = (2r + 1) pi/2, r ∈ Z
⇒ x = (2r + 1)pi / (m – n), r ∈ Z
Por lo tanto, la solución general de la ecuación dada es
x = 2k.pi / (m + n) o, x = (2r + 1)pi / (m – n) donde k, r ∈ Z
(ii) sen x + sen 3x + sen 5x = 0
Solución:
Tenemos,
sen x + sen 3x + sen 5x = 0
⇒ (sen x + sen 5x) + sen 3x = 0
⇒ 2 sen3x cos2x + sen 3x = 0
⇒ sen 3x (2 cos 2x + 1) = 0
⇒ sen 3x = 0 o 2 cos 2x + 1 = 0
⇒ sen 3x = 0 o cos 2x = -1/2
Ahora, sen 3x = 0 ⇒ 3x = n.pi, n ∈ Z ⇒ x = n . pi/3, n ∈ Z.
Y, cos 2x = -1/2
⇒ cos 2x = cos 2pi/3
⇒ 2x = 2m.pi ± 2pi/3, m ∈ Z
⇒ x = m.pi ± pi/3, m ∈ Z.
Por lo tanto, la solución general de la ecuación dada es
x = n.pi/3 o, x = m.pi ± pi/3 donde n, m ∈ Z.
(iii) 2 cos 2 x + 3 sen x = 0
Solución:
Tenemos, 2cos 2 x + 3sen x = 0
⇒ 2 (1 – sen 2 x) + 3 sen x = 0
⇒ 2sen 2 x – 3sen x – 2 = 0
⇒ 2sen 2 x – 4sen x + sen x – 2 = 0
⇒ 2sen x (sen x – 2) + 1 (sen x – 2) = 0
⇒ (sen x – 2) (2senx + 1) = 0
⇒ 2sen x + 1 = 0 [ Nota: sen x ≠ 2 ]
⇒ sen x = -1/2
⇒ sen x = sen (-pi/6)
⇒ x = n.pi + (-1) n (-pi/6), n ∈ Z
Por tanto, x = n.pi + (-1) n+1 (pi/6), n ∈ Z.
Solución Principal
La solución en la que el valor absoluto del ángulo es menor se llama solución principal. En otras palabras, las soluciones de una ecuación trigonométrica para la que ‘x’ se encuentra en el intervalo de 0 a 2pi, es decir, 0 ≤ x ≤ 2pi, se denominan soluciones principales.
Nota: Si una ecuación trigonométrica dada tiene una solución, entonces siempre tendrá dos soluciones principales.
Déjanos decirte por qué es así. Considere una ecuación simple, digamos sen x = 1/2. En un sistema de cuadrantes, sea cual sea la ecuación trigonométrica que se nos dé, el valor absoluto del lado derecho será positivo, negativo o cero. Ahora bien, como sabemos que la función seno puede ser positiva en dos cuadrantes (I y II) y negativa en dos cuadrantes (III y IV). Y es por eso que cuando hablamos de soluciones principales, siempre tendremos dos soluciones.
Sabemos que, sen pi/6 = ½
Además, sen 5pi/6 = sen (pi – pi/6)
Ahora, como sen (pi – x) = sen x
Por lo tanto, sen 5pi/6 = sen pi/6 = ½
Entonces, aquí x = pi/3 y 5pi/6 son las dos soluciones principales de sen x = ½.
Nota:
Técnicas de conversión para encontrar la solución principal.
En el cuadrante I, θ
En el cuadrante II, pi – θ
En el cuadrante III, pi + θ
En el cuadrante IV, 2pi – θ
Ejemplo: ¿Encontrar la solución principal de las siguientes ecuaciones?
(i) sen θ = √3/2
Solución:
Tenemos sen θ = √3/2
sen θ = sen pi/3 o sen (pi – pi/3)
θ = pi/3 o pi – pi/3
Por lo tanto, θ = pi/3 o 2pi/3
(ii) cos 3θ = -1/2
Solución:
Tenemos cos 3θ = -½
cos 3θ = cos (pi – pi/3) o cos (pi + pi/3)
3θ = 2pi/3 o 4pi/3
Por lo tanto, θ = 2pi/9 o 4pi/9
(iii) tan 5θ = 1/√3
Solución:
Tenemos tan 5θ = 1/√3
tan 5θ = tan pi/6 o tan (pi + pi/6)
5θ = pi/6 o 7pi/6
Por lo tanto, θ = pi/30 o 7pi/30
La solución general de sen θ = sen ∝
Aprendimos que la solución general son soluciones que expresan todos los valores que satisfarían la ecuación trigonométrica dada y se pueden expresar de forma generalizada en términos de ‘n’. Analicemos soluciones generales de ecuaciones de la forma sen θ = sen α.
La solución general de sen θ = sen ∝ viene dada por: θ = n.pi + (-1) n , n ∈ Z
Ahora demostrémoslo.
Tenemos, sen θ = sen ∝
⇒ sen θ − sen ∝ = 0
⇒ 2 sen((θ − ∝) / 2) cos((θ + ∝) / 2)) = 0
⇒ sen((θ − ∝) / 2) cos((θ + ∝) / 2)) = 0
⇒ (θ − ∝) / 2 = m.pi y (θ + ∝) / 2 = (2m + 1) pi/2
⇒ θ = 2m.pi + ∝ y θ = 2m.pi + pi – ∝
Entonces, la solución general de sen θ = sen ∝ está dada por: θ = n.pi + (-1) n , n ∈ Z.
Veamos un ejemplo aquí para entenderlo mejor.
Ejemplo: Resuelve la ecuación: sen θ = -√3/2.
Solución:
Tenemos, sen θ = -√3/2
sen θ = sen (-pi/3)
θ = n.pi + (-1) n (-pi/3), n ∈ Z
Por tanto, θ = n.pi + (-1) n+1 (pi/3), n ∈ Z.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por salim25kkhan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA