Geometría euclidiana

La palabra geometría proviene de “Geo” que significa tierra y “metering” que significa medir. Parece que la geometría se originó a partir de la necesidad de medir la tierra. Se ha estudiado en casi todas las civilizaciones, por ejemplo, Egipto, China, India, Grecia, etc. Los egipcios pudieron calcular áreas y volúmenes simples. Incluso conocían la fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada. Nuestro país también estudió geometría en detalle en nuestra antigua civilización. 

Geometría en la India

En India, la civilización del valle del Indo (alrededor del 3000 a. C.) hizo un uso extensivo de la geometría. Era una sociedad altamente organizada. Las ciudades estaban muy bien planificadas. Por ejemplo, los caminos eran paralelos y había un sistema de drenaje subterráneo. Se puede concluir que los habitantes de la ciudad eran muy hábiles en la medición.

El mismo tipo de conocimiento se encontró en Sulbasutras, hubo manuales de construcciones. La geometría del Período Védico se originó con la construcción de chimeneas y altares para realizar ritos Védicos. Para los rituales domésticos, se preferían los altares cuadrados y circulares, y para el culto público se usaban altares que tenían formas como Triángulos, Rectángulos, trapecios. Los triángulos estaban dispuestos de manera que formaban cuarenta y tres triángulos subsidiarios. 

Definición de Geometría de Euclides

Estas civilizaciones antiguas usaban la geometría principalmente con fines prácticos y se hacía poco énfasis en el razonamiento detrás de las declaraciones. Euclides pensó en la geometría como un modelo abstracto del mundo. La idea del punto, las líneas y las formas se derivaron de lo que se veía en el mundo real. Estudió objetos del mundo real para formalizar el concepto de sólido. 

Un sólido tiene forma, tamaño, posición y se puede mover de un lugar a otro. Sus límites se denominan superficies. Separan una parte del espacio de otra. Se supone que no tienen espesor. Los límites de las superficies se componen de curvas o líneas rectas. Estas líneas o curvas están a su vez formadas por puntos. 

De sólido a línea, en cada paso, perdemos una extensión que se define como dimensión. 

Las definiciones de Euclides:

1. Un punto es lo que no tiene parte.
2. Una línea es menos ancha.
3. Los extremos de una recta son puntos.
4. Una línea recta es una línea que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma.
5. Una superficie es lo que tiene solamente largo y ancho.
6. Los bordes de una superficie son líneas.
7. Una superficie plana es una superficie que se encuentra uniformemente con líneas rectas sobre sí misma.

En estas definiciones, hay algunos términos que no están definidos o quizás necesiten más explicaciones. Por ejemplo un punto. 

Los matemáticos deciden dejar algunas cosas sin definir. Pero tenemos sentimientos intuitivos de lo que significan estos términos. Entonces, en geometría, tomamos un punto, una línea y un plano como términos indefinidos. 

Tomando como base estas definiciones, Euclides asumió algunas propiedades que no iban a ser demostradas. Estas suposiciones son en realidad verdades universales. Se pueden dividir en dos tipos: 

1. Postulados: supuestos específicos de la geometría
2. Axiomas: nociones comunes

Axiomas de Euclides

1. Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.
2. Si se suman iguales a iguales, los enteros son iguales.
3. Si se restan iguales de iguales, los residuos son iguales.
4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte.
6. Las cosas que son dobles de las mismas cosas son iguales entre sí.
7. Las cosas que son mitades de las mismas cosas son iguales entre sí.

Ahora hablemos de los postulados de Euclides,

Postulados de Euclides

postulado 1

Se puede trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto.

Observe que este postulado dice que hay al menos una línea recta que pasa por dos puntos, pero no dice nada acerca de si es posible más de una línea como esta. Pero en su trabajo, Euclides a menudo ha asumido que es único. 

Escribamos este resultado como un axioma 

Axioma: Dados dos puntos distintos, existe una única recta que los atraviesa.

Esta afirmación es evidente, veámoslo a través de una figura. 

postulado 2

Una línea terminada se puede producir indefinidamente.

Euclides llama a un segmento de línea una línea terminada. Sabemos que un segmento de recta se puede extender en cualquiera de las direcciones. 

Postulado 3

Se puede dibujar un círculo con cualquier centro y cualquier radio.

Postulado 4

Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

postulado 5

Si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado tomados juntos sean menores que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan en el lado en que la suma de los ángulos es menor que dos ángulos rectos.

Por ejemplo: 

Podemos ver aquí que la suma de los ángulos interiores es menor que dos ángulos rectos. Por lo tanto, estas dos líneas se intersecarán en un punto particular si se extienden indefinidamente. 

El postulado 5 es más complejo que otros postulados. Pero no es posible probar ninguno de ellos. 

Hoy en día, ‘postulados’ y ‘axiomas’ se usan indistintamente y en el mismo sentido. Cuando decimos “postulemos”, significa “hagamos alguna declaración basada en el fenómeno observado en el Universo”. Después de eso se comprueba su veracidad o validez. Si pasa esa prueba, se acepta como postulado. 

Un sistema de axiomas se llama consistente si es imposible deducir de estos axiomas un enunciado que contradiga cualquier axioma o enunciado previamente probado. Entonces, cada vez que se da un sistema de axiomas, es necesario verificar la consistencia. 

Después de postulados y axiomas, Euclides los usó para probar otros resultados usando razonamiento deductivo. Los enunciados que se probaron se llaman proposiciones o teoremas.

Teorema: Dos rectas distintas no pueden tener más de un punto en común.

Prueba: Supongamos que hay dos líneas distintas «m» y «l». Necesitamos demostrar que no pueden intersecarse en más de dos puntos. 

Por ahora, considere que estas dos líneas se intersecan en dos puntos P y Q. Así que ahora tenemos dos líneas que pasan por dos puntos distintos, pero no puede ser cierto porque viola el axioma que estudiamos anteriormente. Entonces no es cierto y nuestra suposición es falsa. 

Así, dos rectas distintas no pueden tener más de un punto en común. Por lo tanto, Probado. 

Ejemplos de problemas sobre la geometría de Euclides

Pregunta 1: ¿Cuántos postulados de Euclides existen? Indique cada uno de ellos.

Responder:

Hay 5 postulados en la Geometría de Euclides,

1. Se puede trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto.
2. Una línea terminada se puede producir indefinidamente.
3. Se puede dibujar un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado tomados juntos sean menores que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan en el lado en que la suma de los ángulos es menor que dos ángulos rectos.

Pregunta 2: Defina los siguientes términos,

1. Lineas paralelas
2. Lineas perpendiculares
3. Segmento de línea
4. radio de un circulo

Responder:

1. Líneas paralelas: Las líneas que mantienen siempre la misma distancia entre sí y, por lo tanto, nunca se encuentran.

Líneas: Una línea es un ancho menos largo.

Punto: Un punto no tiene parte .

2. Líneas Perpendiculares: Cuando dos líneas son perpendiculares entre sí (90° entre sí), se conocen como líneas perpendiculares.

Ángulo: Dos rectas que salen de un mismo punto forman un ángulo.

3. Segmento de línea: una línea que tiene dos extremos y es de naturaleza finita es un segmento de línea.

4. Radio de un círculo: el radio de un círculo se define como una línea que comienza desde el centro hasta la circunferencia.

Pregunta 3: Sobre una recta AB, existe un punto C tal que, AC=BC. Demostrar que la recta AC es la mitad del segmento de recta AB.

Responder:

Dado: AC= BC

Para probar: AC= 1/2 AB

Prueba: 

Ya sabemos por la figura, AB=AC+BC

Pero se da que AC= BC

Por lo tanto, podemos escribir, AB= AC+ AC

AB= 2AC

AC= 1/2 AB

Por lo tanto, Probado.

Pregunta 4: En la siguiente figura, AD es un segmento de línea, y B y C son dos puntos que se encuentran en la línea tal que AC = BD, Demuestra que AB = CD.

Responder:

Dado: AC = BD

Para probar: AB = CD

Prueba: 

De la figura dada, podemos escribir, AC = AB + BC ⇢(1)

BD = BC+ CD ⇢(2)

Igualando la ecuación (1) y (2) ya que, AC = BD (dado)

AB + BC = BC+ CD

AB = CD

Por lo tanto, demostrado