Gráfica de Ecuaciones Lineales en Dos Variables

Las ecuaciones lineales son las ecuaciones de primer orden, es decir, las ecuaciones de grado 1. Las ecuaciones que se utilizan para definir cualquier línea recta son lineales, se representan como, 

x + k = 0; 

Estas ecuaciones tienen una solución única y se pueden representar en rectas numéricas muy fácilmente. Veamos las ecuaciones lineales en dos variables, cómo se representan, sus gráficos y sus soluciones. 

Una ecuación lineal en dos variables se representa como, 

hacha + por = c, 

Donde a, b y c son números reales. 

Por ejemplo: 3x + 5y = 6 es un ejemplo de ecuación lineal en dos variables. 

Solución de una ecuación lineal

Las soluciones de las ecuaciones lineales son los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación dada. Veámoslo con un ejemplo. 

x + y = 4

Estudiaremos las soluciones de esta ecuación. 

x = 2 y y = 2 es una solución a esta ecuación, también lo es x = 0 y y = 4 y (4, 0). Tenemos tres puntos que satisfacen esta ecuación. Pero hay más de tres puntos. Para cada valor de x o para el valor de y, podríamos obtener un valor de la otra variable. Esto demuestra que hay infinitas soluciones posibles para esta ecuación. 

Entonces, una ecuación lineal en dos variables tiene infinitas soluciones. Si trazamos estas soluciones en un gráfico, ¿cómo se ven? Veamos las gráficas de las ecuaciones lineales.

Las ecuaciones presentadas en la introducción, es decir, ecuaciones lineales en una variable, también se pueden representar de esta forma. Veámoslo a través de un ejemplo. 

Pregunta 1: Representa la siguiente ecuación lineal en una variable como una ecuación lineal estándar de dos variables.  

x + 6 = 0

Responder:

Necesitamos traerlo en la forma estándar de ecuación lineal de dos variables, 

hacha + por + c = 0 

x + 6 = 0 

Se puede reescribir como, 

1.x + 0.y + 6 = 0. 

Ahora tenemos que ver cómo formular estas ecuaciones en la vida real. 

Pregunta 2: Eric y Kyle van a una tienda de dulces de Halloween para comprar algunos dulces para «truco o trato» en Halloween. Eric compra 6 dulces de cola y Kyle compra 10 dulces agridulces. El comerciante pide 150 rupias por todos los dulces. Formule una ecuación para esta situación para averiguar el costo de los dulces de cola y agridulces. 

Responder: 

Digamos que el costo de los dulces de cola es «x» y el costo de los dulces «Sour-Sweet» es «y». Observe que el problema tiene dos variables, por lo que tendremos que formular una ecuación lineal en dos variables para representar esta ecuación. 

Costo de 6 dulces de cola = 6x, 

Costo de 10 dulces agridulces = 10 años 

Costo total = Costo de 6 dulces de cola. + Costo de 10 Caramelos Agridulces. 

150 = 6x + 10y 

Por lo tanto, esta es nuestra ecuación requerida. 

Gráficas de la Ecuación Lineal 

Los gráficos para ecuaciones lineales se dibujan para obtener las líneas rectas, se dibujan con la ayuda de las coordenadas de ambos ejes, obteniendo dichos pares en el gráfico y tratando de crear un patrón a partir de él, nos da las líneas rectas. En la ecuación lineal dada, pon diferentes valores de x para obtener diferentes valores de y, digamos, los pares obtenidos son (x 1 _, y ₁ ), (x ₂ , y ₂ ), (x ₃ , y ₃ )… y así. Ahora trace estos puntos en el gráfico para obtener la línea recta.

Trazar los puntos

Los siguientes son los pasos para trazar puntos en el gráfico:

Paso 1: Elija diferentes valores de x

Paso 2: Sustituye esos valores en la ecuación dada para resolver los valores de y

Paso 3: Trace los respectivos pares obtenidos en el gráfico

Paso 4: Obtener dichos pares (al menos dos o más de dos) nos ayudaría a identificar cómo va la línea recta.

Hallar las intersecciones en X e Y

Los siguientes son los pasos para encontrar las intersecciones x e y:

Paso 1: para encontrar el intercepto en y, establezca x = 0 y resuelva el valor de y

Paso 2: para encontrar la intersección x, establezca y=0 y resuelva el valor de x

Paso 3: Traza ambos puntos en el gráfico y únelos con una línea recta.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Trace la gráfica de la ecuación, 

x + y = 4

Solución: 

Hagamos una lista de las soluciones de esta ecuación. 

X	0	1	2	3	4	5	…
y	4	3	2	1	0	-1	…

Si seguimos enumerando estas soluciones, veremos que forman una línea recta. Tracemos esa línea del gráfico. 

Pregunta 2: Trace la gráfica de la ecuación, 

2x – 4y = 12

Solución: 

Hagamos una lista de las soluciones a esta ecuación, 

X	0	1	2	3	4
y	-3	-2.5	-2	-1.5	-1

Podemos unir cualquiera de estos dos puntos para obtener la línea. 

Veamos algunos ejemplos de ecuaciones lineales que son paralelas al eje x y al eje y.

Pregunta 3: Trace la gráfica de la siguiente ecuación. 

y = 6 

Solución:

La ecuación cuando se escribe en forma de ecuación lineal en dos variables. 

0.x + 1.y = 6

Podemos ver que no importa qué valor de «x» pongamos, no afectará la ecuación. Entonces, para satisfacer la ecuación, el valor de «y» debe ser 6. Por lo tanto, nuestra solución debe tener y = 6 y cualquier otro valor de «x» funcionará. 

Entonces, el gráfico se verá así, 

Observe que este gráfico es paralelo al eje x. 

Pregunta 4: Trace la gráfica de la siguiente ecuación. 

x = 7 

Solución:

Similar a la pregunta anterior, esta ecuación se puede representar como. 

1.x + 0.y = 7

Aquí, el valor de «y» no importa y el valor de «x» debe ser 7. 

Entonces, trazando esto en el gráfico. 

Por lo tanto, este es un gráfico para x = 4. 

Nota: En general, para cualquier ecuación x = k, la gráfica siempre será paralela al eje y. De manera similar, la ecuación para y = k, la gráfica siempre será paralela al eje x.