La geometría es sin duda una de las ramas más importantes en el campo de las matemáticas. Su significado es tan profundo como el de la aritmética y el álgebra, tanto en nuestra vida cotidiana, como en los tecnicismos y complejidades de las matemáticas. La geometría, en la vida cotidiana, prevalece básicamente en todas partes. Se aplica en el diseño de una caja tiffin simple a un teléfono móvil o una computadora portátil a un tanque de agua o incluso a un autobús, camión e incluso represas. Por lo tanto, cualquier cosa que ocupe espacio y tenga una forma definida debe estar cubierta por el ámbito de la geometría. En teoría y problemas matemáticos también, el concepto de geometría se emplea para encontrar la distancia entre dos formas, el espacio que ocupan, sus tamaños y posiciones.
Plano coordinado
Tal plano que está formado por la intersección de dos líneas, una de ellas vertical y la otra horizontal, se llama plano de coordenadas en matemáticas. Es un plano de dos dimensiones, con la línea vertical como su eje y y la horizontal como el eje x. El punto de intersección de las dos líneas en el plano se llama origen y se denota por O. Las figuras en una cuadrícula coincidente se usan para detectar puntos. Un plano de coordenadas se puede usar para graficar puntos, líneas y mucho más. Actúa como un gráfico y produce direcciones precisas de un punto a otro.
Coordenadas
Las coordenadas son un grupo de dos valores que ubican un punto seleccionado en una cuadrícula de plano de coordenadas, más conocida como plano de coordenadas. Un punto dentro de un plano de coordenadas se conoce por su par ordenado (x, y), escrito entre paréntesis, como la coordenada X y por lo tanto la coordenada Y. Estas coordenadas suelen ser positivas, cero o negativas, según su posición dentro de los respectivos cuadrantes.
Signos de coordenadas en diferentes cuadrantes
El plano de coordenadas se divide en 4 cuadrantes con el eje x y el eje y. El primer cuadrante es el superior derecho donde las coordenadas x e y son números positivos; el segundo cuadrante se encuentra a la izquierda del primero donde la coordenada x es positiva y la coordenada y es negativa; el tercer cuadrante se encuentra directamente debajo del segundo cuadrante donde la coordenada x es negativa y la coordenada y es positiva; el cuarto cuadrante se encuentra directamente debajo del primer cuadrante ya la derecha del tercer cuadrante donde las coordenadas x e y son negativas.
Fórmula de sección
En el sistema cartesiano, un segmento de línea dado pasaría por un número infinito de puntos. Es obvio que todos esos puntos dividen el segmento de línea dado en dos partes que pueden o no tener la misma longitud. Ahora bien, si se conocen las coordenadas de tal punto, es posible averiguar la razón en la que se realizó la división del segmento de línea. La inversa de esta situación también es posible, dada la proporción en que se divide el segmento de línea, se pueden calcular las coordenadas del punto responsable de dicha división. Aquí es cuando el concepto de fórmula de sección entra en escena.
La fórmula de la sección se usa para determinar la coordenada de un punto que divide un segmento de línea que une dos puntos en dos partes, de modo que la relación de su longitud es m: n.
Suponga que A(a 1 , b 1 ) y B(a 2 , b 2 ) son los dos puntos en el plano xy y T es el punto que divide internamente el segmento AB en la razón m:n, entonces la fórmula de la sección para la determinación de las coordenadas del punto T viene dada por:
T(a, b) =
Halla la razón en que el punto (– 1, 6) divide el segmento de recta que une los puntos (– 3, 10) y (6, – 8).
Solución:
Sea m:n la razón en que el punto T(-1, 6) divide el segmento de recta que une A(– 3, 10) y B(6, – 8).
Según la fórmula de la sección, las coordenadas del punto T están dadas por:
(-1, 6) =
⇒ -1 =
y 6 =
⇒ −m − n = 6m − 3n y 6m + 6n = −8m + 10n
⇒ 2n = 7m y 4n = 14m
⇒ 7m = 2n
⇒ m:n = 2:7
Por lo tanto, el punto (– 1, 6) divide el segmento de línea que une los puntos (– 3, 10) y (6, – 8) internamente en la proporción 2:7.
Problemas similares
Pregunta 1. Halla la razón en que el punto (– 7/5,0) divide el segmento de recta que une los puntos (4, 6) y (−5, – 4).
Solución:
Sea m:n la razón en que el punto T(– 7/5,0) divide el segmento de recta que une A(4, 6) y B(−5, – 4).
Según la fórmula de la sección, las coordenadas del punto T están dadas por:
(– 7/5,0) =
⇒ -7/5 =
y 0 =
⇒ −7m − 7n = -25m + 20n y 0 = −4m + 6n
⇒ 27n = 18m y 6n = 4m
⇒ 2m = 3n
⇒ m:n = 3:2
Por tanto, el punto (– 7/5,0) divide internamente el segmento de recta que une los puntos (4, 6) y (−5, – 4) en la razón 3:2.
Pregunta 2. Halla la razón en que el punto (0, 3) divide el segmento de recta que une los puntos (2, 1) y (-3, 6).
Solución:
Sea m:n la razón en que el punto T(0, 3) divide el segmento de recta que une A(2, 1) y B(-3, 6).
Según la fórmula de la sección, las coordenadas del punto T están dadas por:
(0, 3) =
⇒ 0 =
y 3 =
⇒ 0 = -3m + 2n y 3m + 3n = 6m + n
⇒ 2n = 3m y 6n = 4m
⇒ 3m = 2n
⇒m:n = 2:3
Por lo tanto, el punto (0, 3) divide el segmento de línea que une los puntos (2, 1) y (−3, 6) internamente en la proporción 2:3.
Pregunta 3. Halla la razón en que el punto (3, 6) divide el segmento de recta que une los puntos (4, 8) y (2, 4).
Solución:
Sea m:n la razón en que el punto T(3, 6) divide el segmento de recta que une A(4, 8) y B(2, 4).
Según la fórmula de la sección, las coordenadas del punto T están dadas por:
(3, 6) =
⇒ 3 =
y 6 =
⇒ 3m + 3n = 2m + 4n y 6m + 6n = 4m + 8n
⇒ n = m y 2n = 2m
⇒ metro = norte
⇒ m:n = 1:1
Por lo tanto, el punto (3, 6) divide el segmento de línea que une los puntos (4, 8) y (2, 4) internamente en la proporción 1:1.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA