Los números reales son simplemente la combinación de números racionales e irracionales, en el sistema numérico. En general, todas las operaciones aritméticas se pueden realizar sobre estos números y también se pueden representar en la recta numérica.
HCF (máximo común divisor)
Este concepto se usa para dos o más números para obtener el mayor número que dividirá todos los números dados sin obtener ningún resto. Es por eso que HCF también se conoce como el máximo común divisor.
Ejemplo: Si tomamos 13 y 91 entonces HCF será 7 ya que 7 es el factor común más alto que dividirá tanto 13 como 91 sin dejar ningún resto.
mcm (mínimo común múltiplo)
Este concepto se usa para dos o más de dos números para obtener el número menos positivo que se divide por todos los números dados sin dejar ningún resto.
Ejemplo: Si tomamos 3 y 7 entonces 21 será el MCM ya que 21 es el mínimo común múltiplo que se dividirá entre 3 y 7 sin dejar resto.
Métodos para calcular LCM y HCF
Los siguientes son los métodos con los que puede calcular LCM y HCF:
- método de división
- método de factorización
- Método de factorización prima
1. Método de división
Método de división para MCM:
- Paso 1: Comprueba si los números dados son divisibles por 2 o no.
- Paso 2: si el número es divisible por 2, divide y vuelve a comprobar si es lo mismo. Si los números no son divisibles por 2, marque 3 y así sucesivamente.
- Paso 3: Realice el paso 2 hasta que obtenga 1 al final.
Ejemplo: ¿Descubre el MCM de 16 y 24?
Solución:
Usando el método de división para MCM
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2 |
16 , 24 |
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2 |
8 , 12 |
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2 |
4 , 6 |
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2 |
2 , 3 |
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3 |
1 , 3 |
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1 , 1 |
Por lo tanto, MCM = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48
Método de división para HCF:
- Paso 1: Toma el número más pequeño como divisor y el número más grande como dividendo.
- Paso 2: Realiza la división. Si obtiene el resto como 0, entonces el divisor es el HCF de los números dados.
- Paso 3: si obtiene un resto distinto de 0, tome el resto como el nuevo divisor y el divisor anterior como el nuevo dividendo.
- Paso 4: Realice el paso 2 y el paso 3 hasta que obtenga el resto como 0.
Ejemplo: ¿Averigua el HCF de 7 y 25?
Solución:
Usando el método de división para HCF
Por lo tanto, HCF = 1
2. Método de factorización
Método de factorización para MCM:
- Paso 1: Escribe los múltiplos de los números dados hasta llegar al primer común múltiplo.
- Paso 2: El primer múltiplo común de los números dados será el MCM.
Ejemplo: ¿Descubre el MCM de 6 y 18?
Solución:
Múltiplo de 6 = 6, 12, 18, 24, 30, …….
Múltiplo de 18 = 18, 36, 54, ……
MCM = primer múltiplo común (mínimo común múltiplo)
MCM = 18
Método de factorización para HCF:
- Paso 1: Escribe todos los divisores del número dado.
- Paso 2: Busca divisores comunes entre ellos y encuentra el máximo común divisor. Este máximo común divisor será el HCF de los números dados.
Ejemplo: ¿Descubre el HCF de 6 y 18?
Solución:
Divisores de 6 = 1, 2, 3, 6
Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
HCF = máximo común divisor
HCF = 6
3. Método de factorización prima
Método de factorización prima para encontrar MCM:
- Paso 1: Encuentra los factores primos del número dado.
- Paso 2: Comprobar la ocurrencia de un factor en particular. Si un factor en particular ha ocurrido varias veces en el número dado, elija la ocurrencia máxima del factor en MCM.
- Paso 3: Multiplique todas las ocurrencias máximas de un factor en particular. Y este será el MCM de los números dados.
Ejemplo: ¿Descubre el MCM de 18 y 90?
Solución:
Factores primos de 18 = 2 × 3 × 3
Factores primos de 90 = 2 × 3 × 3 × 5
Ahora MCM será = 2 × 3 × 3 × 5
Método de factorización prima para encontrar HCF:
- Paso 1: Encuentra los factores primos del número dado.
- Paso 2: Comprobar la ocurrencia de un factor en particular. Descubra los factores comunes y selecciónelos en HCF.
- Paso 3: Multiplica la ocurrencia de factores comunes. Y este será el HCF de los números dados.
Ejemplo: ¿Averigua el HCF de 18 y 90?
Factores primos de 18 = 2 × 3 × 3
Factores primos de 90 = 2 × 3 × 3 × 5
Ahora HCF será = 2 × 3 × 3
Ejemplo: ¿Descubre el MCM y HCF de 16 y 30?
Solución:
Factores primos de 16 = 2 × 2 × 2 × 2
Factores primos de 30 = 2 × 3 × 5
MCM: 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5
HCF: 2
Relación entre MCM y HCF de dos números
(MCM de dos números) × (HCF de dos números) = Producto de dos números
Matemáticamente esto se puede escribir como:
MCM(a, b) × HCF(a, b) = a × b
Ejemplo: Averigüe el MCM y HCF de 15 y 70. También verifique la relación entre MCM, HCF y los números dados.
Solución:
Factores primos de 15 = 3 × 5
Factores primos de 70 = 2 × 5 × 7
MCM: 2 × 3 × 5 × 7
HCF: 5
Verificando la relación:
MCM × HCF = 2 × 3 × 5 × 5 × 7 = 1050
Producto de dos números = 15 × 70 = 1050
Desde arriba se puede ver que
MCM (15, 70) × HCF (15, 70) = Producto de dos números
Por lo tanto Verificado.
También podemos averiguar MCM y HCF de más de dos números utilizando el método de factorización prima. Esto es lo mismo que encontrar MCM y HCF de dos números.
Ejemplo: ¿Descubre el MCM y HCF de 18, 30, 90?
Solución:
Factores primos de 18 = 2 × 3 × 3
Factores primos de 30 = 2 × 3 × 5
Factores primos de 90 = 2 × 3 × 3 × 5
MCM: 2 × 3 × 3 × 5 = 90
FCH: 2 × 3 = 6
Puede usar cualquiera de los métodos anteriores para averiguar el MCM y HCF de números dados.