La combinación de un número real y un número imaginario se denomina número complejo. Estos son los números que se pueden escribir en forma de a + ib. donde a y b son números reales. Se denota por z. Aquí, en forma de número complejo, el valor ‘a’ se llama la parte real que se denota por Re(z), y ‘b’ se llama la parte imaginaria Im(z). También se le llama número imaginario. En forma de número complejo a + bi ‘i’ es un número imaginario llamado “iota”. El valor de i es (√-1) o podemos escribir como i 2 = -1.
Por ejemplo,
- 3 + 4i es un número complejo, donde 3 es un número real (Re) y 4i es un número imaginario (Im).
- 2 + 5i es un número complejo donde 2 es un número real (Re) y 5i es un número imaginario (im)
| Número complejo | Número Real | Número imaginario |
|---|---|---|
| -2 + 5i | -2 | 5i |
| 2-5i | 2 | -5i |
| -5i | 0 | -5i (imaginario puro) |
| 5 | 5 | 0i (real puro) |
Reglas de los números imaginarios
- yo = √-1
- yo 2 = -1
- yo 3 = -yo
- yo 4 = 1
- yo 4n = 1
- yo 4n – 1 = -1
Identidad aditiva e inversa de números complejos
Solución:
identidad aditiva
La propiedad de identidad aditiva establece que cuando un número se suma a cero, dará como resultado el mismo número.
Aquí, «Cero» se llama el elemento de identidad, (también conocido como identidad aditiva) Si sumamos cualquier número complejo con cero, el número resultante será el mismo número complejo. Esto es cierto para cualquier número real, número complejo e incluso para números imaginarios.
Supongamos que ‘a’ es cualquier número real, entonces
x + 0 = x = 0 + x
Por ejemplo: Supongamos que z = a+ib, luego según la propiedad z + 0= z
Por lo tanto, (a + ib) + (0 + 0i)
= a + bi + 0 + 0i
= un + bi
= z, para todo z ∈ C.
Por lo tanto, la identidad aditiva de los números complejos se escribe como (x + yi) + (0 + 0i) = x + yi.
Entonces, la identidad aditiva es 0 + 0i.
Inverso aditivo
Un inverso aditivo de un número complejo se define como el valor que al sumar con el número original da como resultado el valor cero. Un inverso aditivo de un número complejo es el valor que sumamos a un número para dar cero.
Supongamos que x es el número original, entonces el inverso aditivo de x será menos de x, es decir, -x, tal que;
x + (-x) = x – x = 0
También se le llama lo contrario del número, negación de número o cambio de signo del número original. Supongamos que el inverso aditivo de A + iB debe ser un valor que al sumarlo con un número complejo dado dé como resultado cero.
Por lo tanto, el inverso aditivo de A + iB es -(A + iB)
Ejemplo: el inverso aditivo de 3 + 3i es -(3 + 3i)
3 + 3i + [-(3 + 3i)]
= 3 + 3i – 3 – 3i
= 0
Por lo tanto probó la propiedad.
Problemas de muestra
Pregunta 1: ¿Encuentra el inverso aditivo del número complejo 5 + 5i?
Solución:
Un inverso aditivo de un número complejo se define como el valor que al sumar con el número original da como resultado el valor cero. Un inverso aditivo de un número complejo es el valor que sumamos a un número para dar cero.
Así que aquí el inverso aditivo del número complejo 5 + 5i es -(5 + 5i)
= -5 – 5i
Pregunta 2: ¿Encuentra el inverso aditivo de 8+3i y prueba la identidad?
Solución:
Un inverso aditivo de un número complejo se define como el valor que al sumar con el número original da como resultado el valor cero. Un inverso aditivo de un número complejo es el valor que sumamos a un número para dar cero.
Así que aquí el inverso aditivo del número complejo 8 + 3i es -(8 + 3i)
= -8 – 3i
Ahora para probar la identidad el inverso aditivo de A + iB debe ser un valor que al sumarlo con un número complejo dado dé como resultado cero.
Por lo tanto, 8 + 3i + (-8 – 3i)
= 8 + 3i – 8 – 3i
= 0
Por lo tanto probado
Pregunta 3: Demostrar el complejo identidad aditivo número 7 + 4i?
Solución:
La propiedad de identidad aditiva establece que cuando un número se suma a cero, dará como resultado el mismo número. La identidad aditiva de los números complejos se escribe como (x + yi) + (0 + 0i) = x + yi.
Así que ahora, para probar la identidad aditiva del número complejo 7 + 4i
= (7 + 4i) + (0 + 0i)
= 7 + 4i
Por lo tanto probado
Pregunta 4: ¿Simplificar {(-3 – 5i) / (2 +2i)}?
Solución:
Dado {(-3 – 5i) / (2 + 2i)}
Conjugado del denominador 2 + 2i es 2 – 2i
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado,
Por lo tanto, {(-3 – 5i) / (2 + 2i) } × {(2 – 2i) / (2 – 2i)}
= {-6 – 6i – 10i +10i 2 } / {2 2 – (2i) 2 } {Fórmula de diferencia de cuadrados. es decir; (a+b)(ab) = a 2 – b 2 }
= {-6 – 6i – 10i + 10(-1)} / {4 – 4(-1)} {i 2 = -1}
= {-6 – 6i – 10i – 10} / {4 + 4}
= (-16 – 16i) / 8
= -16 /8 – 16i /8
= -2 – 2i
Pregunta 5: ¿Encuentra el inverso aditivo del número complejo 3 + 5i y demuéstralo?
Solución:
Un inverso aditivo de un número complejo se define como el valor que al sumar con el número original da como resultado el valor cero. Un inverso aditivo de un número complejo es el valor que sumamos a un número para dar cero.
Así que aquí el inverso aditivo del número complejo 3 + 5i es -(3 + 5i)
= -3 -5i
Para probar: el inverso aditivo de A + iB debe ser un valor que al sumarlo con un número complejo dado dé como resultado cero.
Por lo tanto: 3 + 5i + (-3 – 5i)
= 3 + 5i – 3 + 3i
= 0
Por lo tanto probado
Pregunta 6: Simplifica (3 + 4i) / (3 + 2i) y Encuentra su inverso aditivo?
Solución:
Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de los denominadores.
= ((3 + 4i) × (3 – 2i)) / ((3 + 2i) × (3 – 2i))
= (9 – 6i + 12i – 8i 2 ) / {9 – (2i) 2 }
= (17 + 6i) / (13)
= (17 + 6i) / 13
= 17/13 + 6i/13
Ahora el inverso aditivo del número complejo,
17/13 + 6i/13 es – (17/13 + 6i/13)
= -17/13 – 6i/13
Pregunta 7: Realice la siguiente operación y encuentre el resultado en forma de a + ib y encuentre su inversa.
- (2 – √-25) / (1 – √-16)
Solución:
Dado: (2 – √-25 ) / (1 – √-16)
(2 – √-25) / (1 – √-16) = {2 – (i)(5)} / {1 – (i)(4)}, {i = √-1}
= (2 – 5i ) / (1 – 4i)
= {(2 – 5i) / (1 – 4i)} × {(1 + 4i) / (1 + 4i)}
= {(2 – 5i) (1 + 4i)} / {(1 – 4i) (1 + 4i)}
= {2 + 8i – 5i – (20i 2 )} / {(1 – 16i 2 )} {i 2 = -1}
= {2 + 3i + 20} / {1 – 16(-1)}
= (22 + 3i) / (1 + 16)
= (22 + 3i)/17
= {(22/17) + (3i/17)}
= 22/17 + 3i/17
Ahora Aditivo inverso del número complejo de 22/17 + 3i/17
= -(22/17 + 3i/17)
= -22/17 – 3i/17
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por Nishant_Singh y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA