Las identidades algebraicas se definen para las expresiones algebraicas. Las expresiones algebraicas contienen variables (a, b, c, x, y, z, etc.), números (0, 1, 2, 3, 4…etc) y operadores (+, -, *, /….etc). Una expresión algebraica puede contener solo constantes (1, 2, 3, 4, etc.), o solo variables (x, y, z, etc.), o tanto constante como variable juntas (5xy, 4p 3 ). Las identidades algebraicas son básicamente aquellas ecuaciones matemáticas que facilitan los cálculos en la vida real.
Por ejemplo: considere multiplicar dos números como «989» y «1011». Ahora, este es un cálculo largo, pero si conoce algunas identidades que se adapten a este tipo de problema, se puede resolver fácilmente. Antes de entrar en detalles sobre las identidades algebraicas, primero veamos qué es una Identidad:
¿Qué es una Identidad?
La identidad es una relación entre dos o más de dos expresiones matemáticas, de modo que producen el mismo valor para todos los valores de las variables. En palabras simples, también se puede decir que la LHS de cualquier ecuación se vuelve idénticamente igual a la RHS, para todos los valores de las variables explica una Identidad.
Veamos esta expresión dada a continuación,
(x + 2)(x + 4) = x 2 + 6x + 8
Evalúe ambos lados RHS y LHS de esta ecuación para diferentes valores de x,
1. x = 5
IZQ: (x + 2)(x + 4) = (5 + 2)(5 + 4) = 63
DERECHA: x 2 + 6x + 8 = 5 2 + 6(5) + 8 = 25 + 30 + 8 = 63
Por lo tanto, ambos lados de esta expresión son iguales para x = 5.
2 x = 10
IZQ: (x + 2) (x + 4) = (10 + 2) (10 + 4) = (12)(14) = 168
RHS: x 2 + 6x + 8 = 10 2 + 6(10) + 8 = 100 + 60 + 8 = 168
Por lo tanto, ambos lados de esta expresión son iguales para x = 10.
Si seguimos probando esto con diferentes valores de x, veremos que LHS y RHS son iguales para cada valor de x. Tal expresión que es verdadera para cada valor de las variables presentes en ella se llama Identidad.
Nota: una ecuación solo es verdadera para algunos valores de las variables presentes en ella .
Por ejemplo:
un 2 + 3a + 2 = 132
a = 10 satisface esta identidad, pero a = 5 o – 7 no.
Tipos de expresiones algebraicas
Las expresiones pueden ser de diferentes tipos según el número de términos que contengan. Hay cuatro tipos diferentes de expresiones que componen las identidades.
Expresiones monomiales
Una expresión que contiene un solo término se denomina expresión monomial.
Por ejemplo: 16z 2 , 8xy, -7m, 11…. etc.
Nota: una expresión monomial puede ser solo una constante, una variable o una combinación de constantes y variables.
Por ejemplo: 4, x 3 , 15x 2
Expresiones Binomiales
Una expresión que contiene solo dos términos se llama expresión binomial.
Por ejemplo: x + y, 2x + 5z, x 2 + 10 .. etc.
Prueba de identidades binomiales:
Identidad 1: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Prueba: LHS = (a + b) 2
IZQ = (a + b) (a + b)
Al multiplicar cada término, obtenemos,
LHS = a 2 + ab + ab + b 2
IZQ = a 2 + 2ab + b 2
LHS = RHS
Identidad 2: (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
Prueba: Tomando LHS,
(a – b) 2 = (a – b) (a – b)
(a – b) 2 = a 2 – ab – ab + b 2
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
LHS = RHS
Por lo tanto, probado.
Identidad 3: a 2 – b 2 = (a + b) (a – b)
Prueba: tomando RHS y multiplicando cada término.
(a + b) (a – b) = a 2 – ab + ab – b 2
(a + b) (a – b) = a 2 – b 2
O
a 2 – b 2 = (a + b) (a – b)
LHS = RHS
Por lo tanto probado.
Expresión Trinomial
Una expresión que contiene solo tres términos se llama expresión trinomial.
Por ejemplo: 2a + 3b – 5, a 2 b – ab 2 + b 2
| Identidad trinominal |
| (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca |
| a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca) |
Identidad: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac
Prueba: Tomando LHS
(a+b+c) 2 = (a+b+c) × (a+b+c)
Usando la propiedad distributiva:
(a+b+c) 2 = un (a+b+c) +b (a+b+c) +c (a+b+c)
= a 2 +ab+ac+ab+b 2 +bc+ca+cb+c 2
Reorganizando lo siguiente:
(a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca
Por lo tanto, LHS = RHS
polinomios
Es una generalización de los tres y otros tipos de expresión. Una expresión que contiene uno o más términos con un coeficiente distinto de cero (con variables que tienen exponentes no negativos) se llama polinomio. Un polinomio puede contener cualquier número de términos, uno o más de uno.
Ej: x + y, 2a + 3b – 5, 16z 2 , 2a + 3b – 5 + z.
Ahora estamos listos para investigar las identidades algebraicas.
Identidades algebraicas
Es muy importante aprender sobre las identidades algebraicas básicas que también se conocen como identidades estándar.
| Identidades estándar |
| (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 |
| (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 |
| a 2 – b 2 = (a + b)(a – b) |
Algunas otras identidades:
| (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca |
| a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca) |
| (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) |
| (a – b) 3 = a 3 – b 3 – 3ab (a – b) |
| (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b)x + ab |
Veamos algunos ejemplos que usan estas identidades.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Averigüe utilizando las identidades mencionadas anteriormente, (4x + 3y) 2 .
Solución:
Esto se puede averiguar usando la identidad de (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab.
(4x + 3y) 2 = (4x) 2 + (3y) 2 + 2(4x)(3y)
= 16x 2 + 9y 2 + 24xy
Pregunta 2: Encuentra los valores 99 2 .
Solución:
Multiplicar 99 por 99 llevará tiempo y cálculos. Podemos formular este problema en una forma que sea más fácil de calcular.
Hemos visto la identidad, (a – b) 2 = a 2 + b 2 – 2ab.
Entonces, 99 2 = (100 – 1) 2 = 100 2 + 1 2 – 2(100)(1)
= 10000 + 1 -200
= 9801
Pregunta 3: Averiguar 983 2 – 17 2
Solución:
Esto puede requerir mucho cálculo si lo hacemos de la manera tradicional. Deberíamos usar las identidades para resolver esto.
Podemos usar a 2 – b 2 = (a + b)(a -b)
Entonces, 983 2 – 17 2 = (983 + 17)(983 – 17)
= (1000)(966)
= 966000
Pregunta 4: averiguar 
Solución:
Podemos usar a 2 – b 2 = (a + b)(a -b)
Pregunta 5: Averigüe 1011 2 .
Solución:
Este problema se puede resolver utilizando múltiples identidades. Vamos a resolverlo usando la identidad con tres variables.
(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
1011 2 = (1000 + 10 + 1) 2 = 1000 2 + 10 2 + 1 2 + 2(1000)(10) + 2(10)(1) + 2(1000)
= 1000000 + 100 + 1 + 20000 + 20 + 2000
= 1022121
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA