Las identidades algebraicas son ecuaciones algebraicas que siempre se cumplen para cada valor de la variable en ellas. Las ecuaciones algebraicas que son válidas para todos los valores de las variables en ellas se llaman identidades algebraicas. Se utiliza para la factorización de polinomios. De esta forma, las identidades algebraicas se utilizan en el cálculo de expresiones algebraicas y en la resolución de diferentes polinomios. Contienen variables y constantes en ambos lados del polinomio, es decir, LHS y RHS. En identidad algebraica, LHS debe ser igual a RHS.
¿Qué es la Identidad?
Considere la igualdad (x + 1) (x +2) = x 2 + 3x + 2. Uno puede evaluar ambos lados de esta igualdad para algún valor de a, digamos x = 5. Para x = 5,
- IZQ = (x + 1) (x + 2) = (5 + 1) (5 + 2) = 6 × 7 = 42
- RHS = x 2 + 3x + 2 = 5 2 + 3 × 5 + 2 = 25 + 15 + 2 = 42
Por lo tanto, los valores de los dos lados de la igualdad son iguales para a = 5. Uno puede encontrar que para cualquier valor de x, LHS = RHS . Tal igualdad, verdadera para cada valor de la variable en ella, se llama identidad . Así, (x + 1) (x + 2) = x 2 + 3x + 2 es una identidad.
Identidades estándar
Todas las identidades algebraicas estándar se derivan del teorema del binomio . Hay varias identidades algebraicas, pero pocas son estándar que se enumeran a continuación.
- (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
- (a – b) 2 = a 2 + b 2 – 2ab
- (a + b)(a – b) = a 2 – b 2
- (a + b) 3 =a 3 + b 3 + 3ab(a + b)
- (a – b) 3 =a 3 – b 3 – 3ab(a – b)
- (a + b + c) 2 =a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
Métodos para resolver identidades
- Podemos verificar identidades algebraicas por el método de sustitución , en el que podemos poner valores en lugar variable y tratar de hacer que ambos lados sean iguales. es decir LHS = RHS.
Ejemplo:
(un – 2) (un + 2) = un 2 – 2 2
Ahora vamos a empezar a poner valor en lugar de a.
comenzando con a = 1, (-1) x (3) = -3
entonces pondremos a = 2, 0 x 4 = 0
Aquí tenemos a = 1 y a = 2 como el valor que satisface la pregunta dada.
- Otro método es mediante la manipulación de identidades que se utilizan comúnmente:
i. (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
ii. (a – b) 2 = a 2 + b 2 – 2ab
iii. (a + b)(a – b) =a 2 – b 2
IV. (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab
Prueba:
i. (a + b) 2 = (a + b) (a + b)
= (a + b) (a) + (a + b) (b)
= a 2 + ab + ab + b 2
= a 2 + 2ab + b 2
Por lo tanto, LHS = RHS.
ii. (a – b) 2 = (a – b) (a – b)
= (a – b) (a) + (a – b) (b)
= a 2 – ab – ba + b 2
= a 2 – 2ab + b 2
Por lo tanto, LHS = RHS.
iii. (a + b) (a – b) = a (a – b) + b (a – b)
= a 2 – ab + ab – b 2
= un 2 – b 2
Por lo tanto, LHS = RHS.
Aplicar identidades
Ejemplo 1: ¿Resuelve (2x + 3) (2x – 3) usando identidades algebraicas?
Solución:
Por la identidad algebraica (a + b)(a – b) = a 2 – b 2
Podemos reescribir la expresión dada como
(2x + 3) (2x – 3) = (2x) 2 – (3) 2 = 4x 2 – 9
Ejemplo 2: ¿Resuelve (3x + 5) 2 usando identidades algebraicas?
Solución:
Por identidad algebraica
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
Podemos reescribir la expresión dada como;
(3x + 5) 2 = (3x) 2 + 2(3x)5 + 5 2
(3x + 5) 2 = 9x 2 + 30x + 25
Ejemplo 3: ¿Encuentra el producto de (x + 1)(x + 1) usando identidades algebraicas estándar?
Solución:
(x + 1)(x + 1) se puede escribir como (x + 1) 2 . Por lo tanto, es de la forma estándar I donde a = x y b = 1.
Tenemos,
(x + 1) 2 = (x) 2 + 2(x)(1) + (1) 2 = x 2 + 2x + 1
Ejemplo 4: Expande (3x – 4y) 3 usando identidades algebraicas estándar.
Solución:
(3x – 4y) 3 es de la forma estándar VII donde a = 3x yb = 4y.
Tenemos,
(3x – 4y) 3 = (3x) 3 – (4y) 3 – 3(3x)(4y)(3x – 4y) = 27x 3 – 64y 3 – 108x 2 y + 144xy 2