Identidades algebraicas estándar | Clase 9 Matemáticas

Una identidad algebraica es una igualdad que se cumple para cualquier valor de sus variables. Generalmente se utilizan en la factorización de polinomios o la simplificación de cálculos algebraicos. Muchas situaciones cotidianas se pueden formular en forma de ecuaciones matemáticas. Las identidades nos ayudan regalando para factorizarlas.

Mientras opera un teléfono móvil. Hay millones de chips debajo de la pantalla de su teléfono, hacen su trabajo a la perfección para que rara vez sienta algún problema técnico. Miles de ingenieros que generaron ideas sobre ecuaciones complejas lo han hecho posible. Se ocupan de ecuaciones y problemas mucho más grandes. Las identidades algebraicas se convierten entonces en pequeñas herramientas para ayudar a resolver esos problemas. Entonces, tal vez no aparezcan frente a nosotros directamente, pero en algún lugar detrás de escena, alguien definitivamente los usó y nos hizo la vida más fácil.

Tipos de polinomios

Según la cantidad de términos presentes en una expresión algebraica, por ejemplo, puede haber 1 término, 2 términos, 3 términos, 4 términos, etc., se clasifican en diferentes categorías. Los términos están separados por un signo positivo o negativo:

Tipos de polinomios	Definición	Ejemplo
monomios	Un polinomio que contiene un solo término	10,  2×2 , _  4abc
Binomios	Un polinomio que contiene dos términos	x+y,  3p 2 -5,  x 3 y+8z
Trinomios	Un polinomio que contiene tres términos	p+q+r, x5 +5x+3 ,
cuadrinomial	Un polinomio que contiene cuatro términos	p+q+r+s, m 2 n-2mn+3m+7
Quintinomio	Un polinomio que contiene cinco términos	5x 3 y+ 6x 2 – 9xy+8y-7

 Nota: 

• Los cuatrinomios y los quintinomios no son términos muy famosos y a menudo se denominan polinomios.
• Las identidades estándar más comunes son de binomios y trinomios.

Identidades estándar de la expresión algebraica

Teorema del binomio a

Identidades estándar

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab

(a – b) 2 = a 2 + b 2 -2ab

a 2 – b 2 = (a + b)(a – b)

(hacha + b)(hacha – b) = hacha 2 – b 2

(x + a) (x + b) = x 2 + (a + b)x + ab

a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca)

Veamos diferentes aplicaciones de estas identidades. 

Aplicaciones de identidades

Identidad 1: (a + b) ² = a ²  + b ² + 2ab

Pregunta: Encuentra el valor de (x + 6)(x + 6) usando identidades algebraicas cuando x = 3. 

Solución:

(x+6)(x+6) se puede reescribir como (x + 6) ² . 

Se puede reescribir de esta forma, (a + b) ² = a ² + b ² + 2ab. 

(x + 6) ² = x ² + 6 ² + 2(6x) 

             = x ² + 36 + 12x 

Dado, x = 3. 

(x + 6) ² = 3 ² + 36 + 12(3) 

             = 9 + 36 + 36 

             = 81

Identidad 2: (a – b) ² = a ² + b ²  -2ab

Pregunta: Ampliar (5x – 3y) ² .

Solución:

Esto es similar a expandir (a – b) ² = a ² + b ² – 2ab.

donde a = 5x y b = 3y,

Entonces (5x – 3y) ² = (5x) ² + (3y) ² – 2(5x)(3y)

                    = 25x ² + 9y ² – 30xy 

Identidad 3: a ² – b ² = (a + b)(a – b)

Pregunta: Factorice (x ⁶ – 1) usando las identidades mencionadas anteriormente. 

Solución:

(x ⁶ – 1) se puede escribir como (x ³ ) ² – 1 ² . 

Esto se parece a la identidad a ² – b ² = (a + b)(a – b). 

donde a = x ³ y b = 1. 

Entonces, x ⁶ – 1 = (x ³ ) ² – 1 = (x ³ + 1) (x ³ – 1). 

Algunas otras preguntas y aplicaciones.

Pregunta 1: Si a +b = 12 y ab = 35, ¿cuánto vale a ⁴ + b ⁴ ? 

Solución:

a ⁴ + b ⁴ se puede escribir como (a ² ) ² + (b ² ) ² , 

y sabemos, (x + y) ² = x ² + y ² + 2xy

                   ⇒ x ² + y ² = (x + y) ² -2xy 

Entonces, en este caso, x = a ² , y = b ² ;

un ⁴ + segundo ⁴ = (un ² + ^{segundo 2} ) ² -2(un ² )( ^{segundo 2} ) 

⇒ ((a+b) ² – 2ab) ² – 2(a ² )(b ² ) 

⇒ ((12) ² – 2(35)) ² – 2(35) ² 

⇒ 5475 – 2450

⇒ 3026

Pregunta 2: La identidad 4(z+7)(2z-1)=Az ² +Bz+C se cumple para todos los valores reales de z. ¿Qué es A+B+C?

Solución:

Multiplicando el lado izquierdo de la identidad, tenemos

4(x+7)(2x−1)=8x ² +52x−28.

Esta expresión debe ser igual al lado derecho de la identidad, lo que implica

8x ² +52x-28=Ax ² +Bx+C,

Así que ahora comparando ambos lados de la ecuación. 

A = 8, B = 52 y C -28. 

A + B + C = 8 + 52 -28 = 32

Pregunta 3: Si a+b+c=6, a ² +b ² +c ² = 14 y ab+bc+ca=11 ¿qué es a ³ +b ³ +c ³ -3abc?

Solución:

Conocemos esta identidad,

a ³ + b ³ + c ³ – 3abc = (a + b + c)(a ² + b ² + c ² – ab -bc -ca)

Sustituyendo los valores dados, 

a ³ + b ³ + c ³ -3abc = (6)(14 -11)

⇒ (6)(3) = 18