Identidades trigonométricas – Part 1

La trigonometría es esa rama de las Matemáticas, que se relaciona con el estudio de los ángulos, la medida de los ángulos y las unidades de medida. También se ocupa de las seis razones para un ángulo dado y las relaciones satisfechas por estas razones. De forma ampliada, el estudio es también de los ángulos que forman los elementos de un triángulo. Lógicamente, una discusión de las propiedades de un triángulo; resolver un triángulo, problemas físicos en el área de alturas y distancias usando las propiedades de un triángulo, todo constituye una parte del estudio. También proporciona un método de solución de ecuaciones trigonométricas.

Identidad trigonométrica

Una ecuación que involucra razones trigonométricas de un ángulo se llama Identidad trigonométrica si es verdadera para todos los valores del ángulo. Estos son útiles cuando las funciones trigonométricas están involucradas en una expresión o ecuación. Las seis razones trigonométricas básicas son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente . Todas estas razones trigonométricas se definen usando los lados del triángulo rectángulo, como un lado adyacente, un lado opuesto y un lado de la hipotenusa.

Prueba de las identidades trigonométricas

Para cualquier ángulo agudo θ, demuestre que 

(i) tanθ = sinθ/cosθ (ii) cotθ = cosθ/sinθ (iii) tanθ . cunaθ = 1

(iv) sen ² θ + cos ² θ = 1 (v) 1 + tan ² θ = sec ² θ (vi) 1 + cot ² θ = cosec ² θ

Prueba:

Considere un △ABC en ángulo recto (fig. 1) en el que ∠B = 90° y ∠A = 0°. 

Sean AB = x unidades, BC y unidades y AC = r unidades. 

Después, 

(i) tanθ = y/x = (y/r)/(x/r) [dividiendo num. y denominación por r] 

∴ tanθ = senθ/cosθ 

(ii) cotθ = x/y = (x/r)/(y/r) [dividiendo num. y denominación por r]

∴ cotθ = cosθ/sinθ 

(iii) tanθ. cotθ = (senθ/cosθ) . (cosθ/senθ) 

tanθ. cunaθ = 1 

Entonces, por el teorema de Pitágoras, tenemos 

X ² + y ² = r ² . 

Ahora, 

(iv) sen ² θ + cos ² θ = (y/r) ² + (x/r) ² = ( y ² /r ² + x ² /r ² )

                              = (x ² + y ² )/r ² = r ² /r ² = 1 [x ² + y ² = r ² ]

sen ² θ + cos ² θ = 1

(v) 1 + tan ² θ = 1 + (y/x) ² = 1 + y ² /x ² = (y ² + x ² )/x ² = r ² /x ² [x ² + y ² = r ² ]

(r/x) ² = segundo ² θ 

∴ 1 + bronceado ² θ = segundo ² θ.

(vi) 1 + cot ² θ = 1 + (x/y) ² = 1 + x ² /y ² = (x ² + y ² )/y ² = r ² /y ² [x ² + y ² = r ² ]

(r ² /y ² ) = cosec ² θ

∴ 1 + cuna ² θ = cosec ² θ.

Aplicación de Identidades Trigonométricas

Aplicación 1: Demostrar que (1 – sen ² θ) sec ² θ = 1  

Prueba:

Tenemos: 

LHS = (1 – sen ² θ) seg ² θ

= porque ² θ . segundo ² θ 

= porque ² θ . (1/cos ² θ)

=1 

= lado derecho. 

∴ LHS = RHS.

Aplicación 2: Demostrar que (1 + tan ² θ) cos ² θ = 1  

Prueba:

Tenemos:

LHS = (1 + tan ² θ) cos ² θ

= segundo ² θ . cos ² θ

= (1/cos ² θ) . cos ² θ

= 1 = lado derecho.

∴ IZQ=DER.

Aplicación 3: Demostrar que (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1 

Prueba:

Tenemos: 

LHS = (cosec²θ – 1) tan ² θ 

= (1 + cuna ² θ – 1) tan ² θ  

= cuna ² θ . bronceado ² θ  

= (1/bronceado ² θ) . bronceado ² θ

= 1 = lado derecho.

∴ IZQ=DER.

Aplicación 4: Demostrar que (sec ⁴ θ – sec ² θ) = (tan ² θ + tan ⁴ θ)

Prueba: 

Tenemos:

LHS = (seg ⁴ θ – seg ² θ)

       = segundo ² θ(segundo ² θ – 1)

       = (1 + tan ² θ) (1 + tan ² θ – 1)

       = (1 + tan ² θ) tan ² θ

       = (tan ² θ + tan ⁴ θ)

       = lado derecho      

∴ LHS = RHS.

Aplicación 5: Demostrar que √(sec ² θ + cosec ² θ) = (tanθ + cotθ) 

Prueba: 

Tenemos:

LHS = √(sec ² θ + cosec ² θ ) = √((1 + tan ² θ) + (1 + cot ² θ))

       = √(bronceado ² θ + cuna ² θ + 2)

       = √(tan ² θ + cot ² θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

       = √(tanθ + cotθ) ²

        = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS.