En general, las declaraciones condicionales son declaraciones si-entonces en las que p se denomina hipótesis (o antecedente o premisa) y q se denomina conclusión (o consecuencia). Sentencias condicionales simbolizadas por p, q. Un enunciado condicional p -> q es falso cuando p es verdadero y q es falso, y verdadero en caso contrario.
¿Qué son las proposiciones?
Una proposición es un enunciado declarativo que es verdadero o falso, pero no ambos.
Ejemplos:
- Delhi es la capital de la India
- 1 + 1 = 2
- 2 + 2 = 4
Sean p y q proposiciones.
- El enunciado condicional p -> q es la proposición “si p, entonces q”.
- El enunciado condicional p -> q es falso cuando p es verdadero y q es falso y verdadero en todos los demás casos.
Mediante la siguiente tabla, podemos identificar los valores de las implicaciones:
pags |
q |
pag -> q |
---|---|---|
T |
T |
T |
T |
F |
F |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
Se utiliza una variedad de terminología para expresar p -> q
- si p entonces q
- “si p, q”
- “q si p”
- “q cuando p”
- “q a menos que p”
- “p implica q”
- “p solo si q”
- “q siempre que p”
- “q se sigue de p”
Las declaraciones condicionales también se llaman implicaciones. El enunciado es una implicación p -> q se llama su hipótesis, yq la conclusión.
Ejemplo: Sea p la afirmación “María aprenderá a programar en Java” y q la afirmación “María encontrará un buen trabajo”. ¿Expresar el enunciado p -> q como enunciado en inglés?
Solución:
“Si María aprende a programar en Java, encontrará un buen trabajo”.
o
“María encontrará un buen trabajo cuando aprenda a programar en Java”.
Recíproco, Contrapositivo e Inverso
Podemos formar algunas declaraciones condicionales nuevas comenzando con una declaración condicional p -> q.
- El recíproco de p -> q es la proposición q -> p .
- La contrapositiva de p -> q es la proposición ~q -> ~p .
- El inverso de p -> q es la proposición ~p -> ~q .
Mediante la siguiente tabla, podemos identificar los valores de Inverso, Contrapositivo e Inverso:
pags |
q |
~ pag |
~ q |
pag -> q |
~ q -> ~ p |
---|---|---|---|---|---|
T |
T |
F |
F |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
F |
F |
F |
T |
T |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
T |
T |
Nota: La contrapositiva siempre tiene el mismo valor de verdad que p -> q. Cuando dos proposiciones compuestas tienen siempre el mismo valor de verdad las llamamos equivalentes, por lo que el enunciado condicional y su contrapositiva son equivalentes. El recíproco y el inverso de un enunciado condicional también son equivalentes.
Ejemplo 1: Muestre que p -> q y su contrapositivo ~q -> ~p son lógicamente equivalentes.
Solución:
pags |
q |
~ pag |
~ q |
pag -> q |
~ q -> ~ p |
---|---|---|---|---|---|
T |
T |
F |
F |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
F |
F |
F |
T |
T |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
T |
T |
Como p ->q es igual a ~q -> ~p, entonces ambas proposiciones son equivalentes.
Ejemplo 2: Muestre que la proposición q -> p, y ~p -> ~q no es equivalente a p -> q.
Solución:
pags |
q |
~ pag |
~ q |
pag -> q |
q -> p |
~p -> ~q |
---|---|---|---|---|---|---|
T |
T |
F |
F |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
F |
T |
T |
F |
T |
T |
F |
T |
F |
F |
F |
F |
T |
T |
T |
T |
T |
En este caso, p -> q no es igual a q -> p y ~p -> ~q, por tanto no son iguales a p -> q pero ellos mismos son iguales.
Ejemplo 3: ¿Cuál es el contrapositivo, el recíproco y el inverso del enunciado condicional “El equipo de casa gana siempre que llueve”?
Solución:
Porque “q siempre que p” es una forma de expresar enunciados condicionales p -> q.
Oración original:
“Si está lloviendo, entonces gana el equipo de casa”.
- Contrapositivo: “Si el equipo de casa no gana, entonces no llueve”.
- Inversa: “Si gana el equipo de casa, entonces está lloviendo”.
- Inversa: “Si no llueve, el equipo de casa no gana”.
Ejemplo 4: ¿Cuáles son el contrapositivo, el inverso y el inverso de la declaración condicional «Si la imagen es un triángulo, entonces tiene tres lados»?
Solución:
- Contrapositivo: “Si la imagen no tiene tres lados, entonces no es un triángulo”.
- Recíproco: “Si la imagen tiene tres lados, entonces es un triángulo”.
- Inversa: “Si la imagen no es un triángulo, entonces no tiene tres lados”.
Bicondicional o Equivalencia
- Ahora presentamos otra forma de combinar proposiciones que expresan que dos proposiciones tienen los mismos valores de verdad.
- Sean p y q proposiciones.
- El enunciado bicondicional p <-> q son las proposiciones “p si y solo si q”
- El enunciado bicondicional p <-> q es verdadero cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y es falso en caso contrario.
- Las declaraciones bicondicionales también se llaman bi-implicaciones.
- Hay algunas formas comunes de expresar p<->q
- “p es necesario y suficiente para q”
- “si p entonces q, y viceversa”
- “p si q”.
Mediante la siguiente tabla, podemos identificar los valores de Bicondicional:
pags |
q |
pag <-> q |
---|---|---|
T |
T |
T |
T |
F |
F |
F |
T |
F |
F |
F |
T |
Ejemplo: ¿Cuál es el bicondicional de las siguientes oraciones? Sea p el enunciado “Puedes tomar el vuelo” y q sea el enunciado “Compras un boleto”.
Solución:
p <-> q es “Puedes tomar el vuelo si y solo si compras un boleto”
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por dimpalagrawal21 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA