Declaraciones condicionales e implicaciones: razonamiento matemático | Clase 11 Matemáticas

En general, las declaraciones condicionales son declaraciones si-entonces en las que p se denomina hipótesis (o antecedente o premisa) y q se denomina conclusión (o consecuencia). Sentencias condicionales simbolizadas por p, q. Un enunciado condicional p -> q es falso cuando p es verdadero y q es falso, y verdadero en caso contrario. 

¿Qué son las proposiciones?

Una proposición es un enunciado declarativo que es verdadero o falso, pero no ambos.

Ejemplos:

  • Delhi es la capital de la India
  • 1 + 1 = 2
  • 2 + 2 = 4

Sean p y q proposiciones. 

  • El enunciado condicional p -> q es la proposición “si p, entonces q”. 
  • El enunciado condicional p -> q es falso cuando p es verdadero y q es falso y verdadero en todos los demás casos.

Mediante la siguiente tabla, podemos identificar los valores de las implicaciones:

pags

q

pag -> q

T

T

T

T

F

F

F

T

T

F

F

T

Se utiliza una variedad de terminología para expresar p -> q

  • si p entonces q
  • “si p, q”
  • “q si p”
  • “q cuando p”
  • “q a menos que p”
  • “p implica q”
  • “p solo si q”
  • “q siempre que p”
  • “q se sigue de p”

Las declaraciones condicionales también se llaman implicaciones. El enunciado es una implicación p -> q se llama su hipótesis, yq la conclusión.

Ejemplo: Sea p la afirmación “María aprenderá a programar en Java” y q la afirmación “María encontrará un buen trabajo”. ¿Expresar el enunciado p -> q como enunciado en inglés?

Solución: 

“Si María aprende a programar en Java, encontrará un buen trabajo”.

                                                                             o

“María encontrará un buen trabajo cuando aprenda a programar en Java”.

Recíproco, Contrapositivo e Inverso

Podemos formar algunas declaraciones condicionales nuevas comenzando con una declaración condicional p -> q. 

  1. El recíproco de p -> q es la proposición q -> p .
  2. La contrapositiva de p -> q es la proposición ~q -> ~p .
  3. El inverso de p -> q es la proposición ~p -> ~q .

Mediante la siguiente tabla, podemos identificar los valores de Inverso, Contrapositivo e Inverso:

pags

q

~ pag

~ q

pag -> q

~ q -> ~ p

T

T

F

F

T

T

T

F

F

T

F

F

F

T

T

F

T

T

F

F

T

T

T

T

Nota: La contrapositiva siempre tiene el mismo valor de verdad que p -> q. Cuando dos proposiciones compuestas tienen siempre el mismo valor de verdad las llamamos equivalentes, por lo que el enunciado condicional y su contrapositiva son equivalentes. El recíproco y el inverso de un enunciado condicional también son equivalentes.

Ejemplo 1: Muestre que p -> q y su contrapositivo ~q -> ~p son lógicamente equivalentes.

Solución:

pags

q

~ pag

~ q

pag -> q

~ q -> ~ p

T

T

F

F

T

T

T

F

F

T

F

F

F

T

T

F

T

T

F

F

T

T

T

T

Como p ->q es igual a ~q -> ~p, entonces ambas proposiciones son equivalentes. 

Ejemplo 2: Muestre que la proposición q -> p, y ~p -> ~q no es equivalente a p -> q.

Solución:

pags

q

~ pag

~ q

pag -> q

q -> p

~p -> ~q

T

T

F

F

T

T

T

T

F

F

T

F

T

T

F

T

T

F

T

F

F

F

F

T

T

T

T

T

En este caso, p -> q no es igual a q -> p y ~p -> ~q, por tanto no son iguales a p -> q pero ellos mismos son iguales.

Ejemplo 3: ¿Cuál es el contrapositivo, el recíproco y el inverso del enunciado condicional “El equipo de casa gana siempre que llueve”?

Solución:

Porque “q siempre que p” es una forma de expresar enunciados condicionales p -> q.

Oración original:

“Si está lloviendo, entonces gana el equipo de casa”.  

  • Contrapositivo: “Si el equipo de casa no gana, entonces no llueve”.
  • Inversa: “Si gana el equipo de casa, entonces está lloviendo”.
  • Inversa: “Si no llueve, el equipo de casa no gana”.

Ejemplo 4: ¿Cuáles son el contrapositivo, el inverso y el inverso de la declaración condicional «Si la imagen es un triángulo, entonces tiene tres lados»?

Solución:

  • Contrapositivo: “Si la imagen no tiene tres lados, entonces no es un triángulo”.
  • Recíproco: “Si la imagen tiene tres lados, entonces es un triángulo”.
  • Inversa: “Si la imagen no es un triángulo, entonces no tiene tres lados”.

Bicondicional o Equivalencia

  • Ahora presentamos otra forma de combinar proposiciones que expresan que dos proposiciones tienen los mismos valores de verdad.
  • Sean p y q proposiciones.
  • El enunciado bicondicional p <-> q son las proposiciones “p si y solo si q”
  • El enunciado bicondicional p <-> q es verdadero cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y es falso en caso contrario.
  • Las declaraciones bicondicionales también se llaman bi-implicaciones.
  • Hay algunas formas comunes de expresar p<->q
  • “p es necesario y suficiente para q”
  • “si p entonces q, y viceversa”
  • “p si q”.

Mediante la siguiente tabla, podemos identificar los valores de Bicondicional:

pags

q

pag <-> q

T

T

T

T

F

F

F

T

F

F

F

T

Ejemplo: ¿Cuál es el bicondicional de las siguientes oraciones? Sea p el enunciado “Puedes tomar el vuelo” y q sea el enunciado “Compras un boleto”.

Solución:

p <-> q es “Puedes tomar el vuelo si y solo si compras un boleto”

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por dimpalagrawal21 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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