Probabilidad Condicional e Independencia – Probabilidad | Clase 12 Matemáticas

Sea B un evento con probabilidad distinta de cero. La probabilidad condicional de cualquier evento A dado B se define como:

En otras palabras, P(A|B) es la medida de probabilidad del evento A después de observar la ocurrencia del evento B. Dos eventos se llaman independientes si y solo si P(A∩B) = P(A)P(B) ( o de manera equivalente, P(A|B) = P(A)). Por lo tanto, la independencia equivale a decir que observar B no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de A.

Ejemplos

Ejemplo 1: Sapan participó en dos juegos. La probabilidad de que pase ambos juegos es 0.4 La probabilidad de que pase el primer juego es 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que pase el segundo juego dado que pasó el primero?

Solución:

Digamos que el primer juego sea el primero y el segundo sea el segundo.
 

P(primero ∩ segundo) = 0,4
P(primero) = 0,6

Fórmula: 

Aquí la pregunta es cuál es la forma correcta de escribirlo P (primero/segundo) o P (segundo/primero).

hemos dado la probabilidad de pasar la primera prueba como la definición de probabilidad condicional digamos La probabilidad de que ocurra un evento dado que ya ha ocurrido otro evento se llama probabilidad condicional. Por lo tanto, poner las probabilidades en la fórmula.

 = 0,66

Ejemplo 2: En un grupo de 100 compradores de autos deportivos, 40 compraron sistemas de alarma, 30 compraron asientos de cubo y 20 compraron un sistema de alarma y asientos de cubo. Si un comprador de automóvil elegido al azar compró un sistema de alarma, ¿cuál es la probabilidad de que también comprara asientos de cubo?

Solución:

Digamos el evento de comprar un sistema de alarma como alarma y el evento de comprar asientos de cubo como cubo.

P(alarma) = 40 / 100 = 0,4
P(alarma ∩ balde) = 0,2

Aplicando fórmula: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

Aquí tenemos la probabilidad de los sistemas de alarma. y tiene que averiguar la probabilidad de asientos de cubo. Por lo tanto, poner las probabilidades en la fórmula.

 = 0,5

Ejemplo 3: Hay 2 camisas rojas, 4 camisas azules y 9 camisas blancas en una canasta. Se seleccionan dos camisas al azar. Halla la probabilidad de que la segunda camiseta sea roja dado que la primera camiseta es azul. (Suponga que el primer chip no se reemplaza).

Solución:

Sea A el caso de que la camiseta azul se seleccione y no se reemplace y B sea el caso de que la segunda camiseta sea roja.

PA(A) = 4 / 15 = 0,26

Así que la camiseta azul ya está tomada y no reemplazada Nos quedamos con 14 camisetas.

P(A∩B) = 2 / 14 = 0,14

Aplicando fórmula:

 P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = 0,14 / 0,26 = 0,53

Ejemplo 4: Se lanza una moneda dos veces. Sea A el evento de que ambas volteretas caigan cara y sea B el evento de que al menos una voltereta caiga cara.

Solución:

El espacio muestral de un experimento o ensayo aleatorio es el conjunto de todos los resultados o resultados posibles de ese experimento. Aquí ‘S’ denota el espacio muestral.

S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}

P(A∩B) = 1 / 4 = 0,25

P(B) = 3 / 4 = 0,75

Aplicando fórmula:

  = 0,33

Probabilidad condicional utilizando tablas de doble entrada

Se realiza una encuesta en una universidad en la que se pregunta a las personas qué les gustaría ver. Esta tabla de doble entrada muestra los datos de la muestra de estudiantes que respondieron a la encuesta:

Serie	Niños	Muchachas	Total
harry potter	50	25	75
El libro de la selva	10	15	25
Total	60	40	100

Pregunta: Encuentre la probabilidad de que el estudiante sea una niña, dado que el estudiante votó por Harry Potter.

Solución:

Esta pregunta se puede dividir en dos partes:

1. ¿Encuentra la probabilidad de que el estudiante elija Harry Potter como la serie que le gustaría ver?

 = 0,7

 2. Encuentre la probabilidad de los estudiantes de que el estudiante fuera una niña y votara por Harry Potter.

 = 0,25

Aplicando la fórmula de probabilidad condicional:

P(niña | harry potter) =   = 0.25

Diagrama de árbol y probabilidad condicional

Una empresa necesita verificar si una bombilla está fundida o no y se activa una alarma cuando se detecta una bombilla fundida. Suponga que el 5% de los conjuntos contienen una bombilla fundida. Si un juego de bombillas contiene una bombilla fundida, hay un 98 % de posibilidades de que active la alarma. si un conjunto no contiene una bombilla fundida, hay un 8% de posibilidades de que active la alarma. Se toma un conjunto de bombillas elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que contenga un elemento prohibido? Probabilidad de elegir al azar un conjunto que contenga una bombilla fundida:

¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa elegida al azar NO contenga un artículo prohibido?

P(no fusionado) = 1 − P(fusionado) = 1 − 0,05 = 0,95

Si un juego contiene una bombilla fundida, hay un 98 % de posibilidades de que se detecte. Si una bolsa no contiene un artículo fusionado, hay un 8% de posibilidades de que active la alarma.

Dado que un conjunto contiene un elemento fusionado, ¿cuál es la probabilidad de que NO dispare la alarma? 

P(contiene la bombilla fundida que no activa la alarma) = 1 − 0,98 = 0,02

Dado que un conjunto NO contiene un elemento fusionado, ¿cuál es la probabilidad de que NO dispare la alarma?

P(no contiene fusibles y no dispara) = 1 − 0.08 = 0.92

Diagrama de árbol completo:

Pregunta condicional: dado que un conjunto elegido al azar activa la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que contenga una bombilla fundida?

P(fusionado ∣ activa la alarma) = P(F∩A) / P(A)

Encontramos esta probabilidad en el diagrama de árbol. Dado que el 5% de las bolsas contienen un artículo fusionado y el 98% de esas bolsas activan la alarma, podemos multiplicar esas probabilidades: 

P(F∩A) = (0,05) ∗ (0,98) = 0,049

Encuentre la probabilidad de que un conjunto seleccionado al azar active la alarma. Hay dos situaciones en las que los conjuntos pueden activar la alarma, por lo que sumamos esas dos probabilidades:

P(A) = P(F∩A) + P(N∩A) = 0,049 + 0,076 = 0,125

Resultado final:

P(F∣A) = P(F∩A) / P(A) = 0,049 / (0,049 + 0,076) = 0,049 / 0,125 = 0,392

Análisis de la probabilidad de eventos para la independencia

Tom’s tiene 1 camisa azul, 1 camisa verde, 1 sombrero azul, 1 bufanda verde. 1 par de pantalones azules. y 1 par de pantalones verdes Tom selecciona una de estas prendas al azar. Sea A el evento de seleccionar una prenda azul y B el evento de elegir una camisa.

PA(A) = 3/6 = 1/2

P(B) = 2 / 6 = 1 / 3

PAG(A/B) = 1 / 2
PAG(B/A) = 1 / 3
PAG(A∩B) = 1 / 6

Verificación: 

• P(B/A) = P(B) * P(A)

           1/6 = 1/6

• P(B/A) = P(B)

           1/3 = 1/3  

P(A/B) = P(A) Es la probabilidad de elegir una prenda azul dado que elige una camisa es igual a la probabilidad de que Tom elija una prenda azul.

P(B/A) = P(B), la probabilidad de que tom seleccione una camisa dado que ha elegido una prenda azul es igual a la probabilidad de que tom seleccione una camisa.

Recuerde la fórmula del independiente anterior, es decir 

P(A∩B) = P(A) ∗ P(B)

P(A/B) = P(A)