Si f(x) y g(x) son funciones polinómicas tal función. que g(x) ≠ 0 entonces f(x)/g(x) se llama funciones racionales . Si el grado f(x) < el grado g(x), entonces f(x)/g(x) se denomina función racional propia . Si el grado f(x) < el grado g(x), entonces f(x)/g(x) se denomina función racional impropia . Si f(x)/g(x) es una función racional impropia, al dividir f(x) entre g(x), podemos expresar f(x)/g(x) como la suma de un polinomio y un racional propio. función.
Fracciones parciales
Cualquier función racional propia p(x)/q(x) se puede expresar como la suma de funciones racionales, cada una de las cuales tiene el factor más simple q(x), cada una de esas fracciones se conoce como función parcial y el proceso para obtenerlas se llama la descomposición o resolución de la función dada en fracciones parciales.
Integración por Fracciones Parciales
Por ejemplo, digamos que queremos evaluar ∫[p(x)/q(x)] dx donde p(x)/q(x) está en una fracción racional propia. En casos como estos, podemos escribir el integrando como una forma de suma de funciones racionales más simples mediante el uso de la descomposición en fracciones parciales después de que la integración se pueda llevar a cabo fácilmente. Aquí Los valores de A, B, C, etc. se pueden obtener según la pregunta.
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Factores en el denominador o denominadores en funciones racionales |
Fracciones parciales correspondientes |
|---|---|
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(x-a) |
A/(x – a) |
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(x-b) 2 |
A/(x – b) + A/(x – b) 2 |
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(x-c) 3 |
A/(x – c) + B/(x – c) 2 + C/(x – c) 3 |
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(hacha 2 + bx + c ) |
Ax + B/(ax 2 + bx + c) |
Ejemplos
Ejemplo 1: Evaluar ∫(x – 1)/(x + 1)(x – 2) dx?
Solución:
Sea (x – 1)/(x + 1)(x – 2) = A/(x + 1) + B/(x – 2)
Entonces, (x – 1) = A(x – 2) + B(x + 1) ………………(i)
Poniendo x = -1 en (i), obtenemos A = 2/3
Poniendo x = 2 en (i), obtenemos B = 1/3
Por lo tanto,
(x – 1)/(x + 1)(x – 2) = 2/3(x + 1) + 1/3(x – 2)
=> ∫(x – 1)/(x + 1)(x – 2) = 2/3∫dx/(x + 1) + 1/3∫dx/(x – 2)
= 2/3log | x + 1 | + 1/3 registro | x – 2 | + C
Ejemplo 2: Evaluar ∫dx/x{6(log x) 2 + 7log x + 2}?
Solución:
Poniendo log x = t y 1/x dx = dt, obtenemos
I = ∫dx/x{6(log x) 2 + 7log x + 2} = ∫dt/(6t 2 + 7t + 2) = ∫dt/(2t + 1)(3t + 2)
Sea 1/(2t + 1)(3t + 2) = A/(2t + 1) + B/(3t + 2)
Entonces, 1 ≡ A(3t + 2) + B(2t + 1) …………………….(i)
Poniendo t = -1/2 en (i), obtenemos A = 2
Poniendo t = -2/3 en (i), obtenemos B = -3
Por lo tanto, 1/(2t + 1)(3t + 2) = 2/(2t + 1) + (-3)/(3t + 2)
=> yo = ∫dt/(2t + 1)(3t + 2)
= ∫2dt/(2t + 1) – ∫3dt/(3t – 2)
= registro | 2t + 1 | – registro | 3t + 2 |
= registro | 2t + 1 |/registro | 3t + 2 | + C
= registro | 2 registro x + 1 | / registro | 3 registro x + 2 | + C
Ejemplo 3: ¿Evaluar ∫dx/(x 3 + x 2 + x + 1)?
Solución:
Tenemos 1/(x 3 + x 2 + x + 1) = 1/x 2 (x + 1) + (x + 1) = 1/(x + 1)(x 2 + 1)
Sea 1/(x + 1)(x 2 + 1) = A/(x + 1) + Bx + C/(x 2 + 1) ……………………(i)
=> 1 ≡ A(x 2 + 1) + (Bx + C) (x + 1)
Poniendo x = -1 en ambos lados de (i), obtenemos A = 1/2.
Comparando los coeficientes de x 2 en ambos lados de (i), obtenemos
A + B = 0 => B = -A = -1/2
Comparando los coeficientes de x en ambos lados de (i), obtenemos
B + C = 0 => C = -B = 1/2
Por tanto, 1/(x + 1) (x 2 + 1) = 1/2(x + 1) + (-1/2x + 1/2)/(x 2 + 1)
Por lo tanto, ∫1/(x + 1) (x 2 + 1) = ∫dx/(x + 1) (x 2 + 1)
= 1/2∫dx/(x + 1) – 1/2∫x/(x 2 + 1)dx + 1/2∫dx/(x 2 + 1)
= 1/2∫dx/(x + 1) – 1/4∫2x/(x 2 + 1)dx + 1/2∫dx/(x 2 + 1)
= 1/2 registro | x + 1 | – 1/4 leño | x2 + 1 | + 1/2 bronceado -1 x + C
Ejemplo 4: Evaluar ∫x 2 /(x 2 + 2)(x 2 + 3)dx?
Solución:
Sea x 2 /(x 2 + 2) (x 2 + 3) = y/(y + 2)(y + 3) donde x 2 = y.
Sea y/(y + 2) (y + 3) = A/(y + 2) + B/(y + 3)
=> y ≡ A(y + 3) + B/(y + 2) ………………(i)
Poniendo y = -2 en ambos lados de (i), obtenemos A = -2.
Poniendo y = -3 en ambos lados de (i), obtenemos B = 3.
Por lo tanto, y/(y + 2) (y + 3) = -2/(y + 2) + 3/(y + 3)
=> x 2 /(x 2 + 2) (x 2 + 3) = -2/(x 2 + 2) + 3/(x 2 + 3)
=> ∫x 2 /(x 2 + 2) (x 2 + 3) = -2∫dx/(x 2 + 2) + 3∫dx/(x 2 + 3)
= -2/√2tan -1 (x/√2) + 3/√3tan -1 (x/√3) + C
= -√2tan -1 (x/√2) + √3tan -1 (x/√3) + C
Ejemplo 5: ¿Evaluar ∫dx/x(x 4 + 1)?
Solución:
Tenemos
I = ∫dx/x(x 4 + 1) = ∫x 3 /x 4 (x 4 + 1) dx [multiplicando numerador y denominador por x 3 ].
Poniendo x 4 = t y 4x 3 dx = dt, obtenemos
yo = 1/4∫dt/t(t + 1)
= 1/4∫{1/t – 1/(t + 1)}dt [por fracción parcial]
= 1/4∫1/t dt – 1/4∫1/(t + 1)dt
= 1/4 registro | t | – 1/4 leño | t + 1 | + C
= 1/4 registro | 4×4 | _ – 1/4 leño | x 4 + 1 | + C
= (1/4 * 4) registro | x | – 1/4 leño | x 4 + 1 | + C
= registro | x | – 1/4 leño | x 4 + 1 | + C