Integral definida como el límite de una suma de Riemann

Las integrales definidas son una parte importante del cálculo. Se utilizan para calcular áreas, volúmenes, etc. de formas arbitrarias para las que no se han definido fórmulas. Analíticamente son solo integrales indefinidas con límites encima de ellas, pero gráficamente representan el área bajo la curva. Los límites denotan los límites entre los cuales se debe calcular el área. Estos conceptos tienen mucha importancia en el campo de la ingeniería eléctrica, robótica, etc. Para definir integrales se utilizan sumas de Riemann en las que calculamos el área bajo cualquier curva utilizando rectángulos infinitesimalmente pequeños. Veamos esta interpretación de integrales definidas en detalle.

Sumas de Riemann

Las sumas e integrales de Riemann fueron desarrolladas por el matemático alemán Bernhard Riemann, quien hizo importantes contribuciones al campo de la geometría diferencial, la teoría de números y su análisis. Estas sumas calculan el área bajo cualquier curva usando infinitos rectángulos y sumando su área. Entendamos estas sumas a través de un ejemplo, consideremos una función f(x), el objetivo es calcular el área bajo esta curva entre x = a hasta x = b.

En la notación integral definida, esta área se representará como,

$\int^{b}_{a}f(x)dx$

Esta área se puede aproximar dividiendo el área bajo la curva en n rectángulos de igual tamaño. Entonces, el intervalo [a, b] se divide en n-subintervalos definidos por los puntos.

a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < …. x _n-2 < x _n-1 < x _n = segundo

Entonces, los n intervalos son,

[x ₀ , x ₁ ], [x ₁ , x ₂ ], …. [x _n-1 , x _n ]

Entonces, para el i ^-ésimo rectángulo, el ancho será [x _i-1 , x _i ].

El área del i ^-ésimo rectángulo A _i = f( $\frac{x_{i-1} + x_{i}}{2}$ )(x _{i —} x _i-1 )

Entonces, el área total será $\sum^{n}_{i = 1}A_{i}$

Esta suma se llama suma de Riemann .

Integrales definidas mediante sumas de Riemann

A través de las sumas de Riemann, el área bajo la curva se puede calcular para funciones arbitrariamente complejas. Entonces, las integrales definidas se pueden definir usando las sumas de Riemann. Intuitivamente, a medida que aumentamos el número de rectángulos en la región, su ancho disminuye y el área se acerca cada vez más al área exacta bajo la curva.

Sea P el ancho del intervalo más grande.

$A = \lim_{|P| \to 0}\sum^{n}_{i = 1}f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2})\Delta x$

Este límite es la integral definida de la función f(x) entre los límites aab y se denota por $\int^{b}_{a}f(x)dx$ . Sea n el número de divisiones que hacemos en los límites y R(n) el valor de la suma de Riemann con n-divisiones a medida que n ⇢ ∞, R(n) se acerca cada vez más al área real. Veamos algunos problemas sobre estos conceptos.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra el valor de la suma de Riemann para n = 3 para la función f(x) = 5 entre x = 0 y x = 6.

Solución:

Dividiendo el intervalo en cuatro partes iguales que es n = 3. El ancho de cada intervalo será,

$\Delta x = \frac{6 - 0}{3} = \frac{6 - 0}{3} = 2$

El valor de la función en cada intervalo será el valor de la función en el punto medio del intervalo.

$A = \sum^{n}_{i = 1}f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{x_1 + x_{0}}{2})\Delta x + f(\frac{x_2 + x_{1}}{2})\Delta x + f(\frac{x_3 + x_{2}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{2 + 0}{2})\Delta x + f(\frac{4 + 2}{2})\Delta x + f(\frac{6 + 4}{2})\Delta x$

⇒A = $f(1)\Delta x + f(3)\Delta x + f(5)\Delta x$

⇒A = $(f(1) + f(2)+ f(3))\Delta x$

⇒A = (5 + 5 + 5)2

⇒ A = 30

Pregunta 2: Encuentra el valor de la suma de Riemann para n = 4 para la función f(x) = $\frac{x^2}{5}$ entre x = 0 y x = 4.

Solución:

Dividiendo el intervalo en cuatro partes iguales que es n = 4. El ancho de cada intervalo será,

$\Delta x = \frac{4 - 0}{n} = \frac{4 - 0}{4} = 1$

El valor de la función en cada intervalo será el valor de la función en el punto medio del intervalo.

$A = \sum^{n}_{i = 1}f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{x_1 + x_{0}}{2})\Delta x + f(\frac{x_2 + x_{1}}{2})\Delta x + f(\frac{x_3 + x_{2}}{2})\Delta x + f(\frac{x_4 + x_{3}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{1 + 0}{2})\Delta x + f(\frac{2 + 1}{2})\Delta x + f(\frac{3 + 2}{2})\Delta x + f(\frac{4 + 3}{2})\Delta x$

⇒A = $f(0.5)\Delta x + f(1.5)\Delta x + f(2.5)\Delta x + f(3.5)\Delta x$

⇒A = $(f(0.5) + f(1.5)+ f(2.5) + f(3.5))\Delta x$

⇒A = $(0.05 + 0.45 + 1.25+ 2.45)\Delta x$

⇒ A = 4,2

Pregunta 3: Encuentra el valor de la suma de Riemann para n = 6 para la función f(x) = x entre x = 0 y x = 6.

Solución:

Dividiendo el intervalo en cuatro partes iguales que es n = 6. El ancho de cada intervalo será,

$\Delta x = \frac{6 - 0}{n} = \frac{6 - 0}{6} = 1$

El valor de la función en cada intervalo será el valor de la función en el punto medio del intervalo.

$A = \sum^{n}_{i = 1}f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{x_1 + x_{0}}{2})\Delta x + f(\frac{x_2 + x_{1}}{2})\Delta x + f(\frac{x_3 + x_{2}}{2})\Delta x + f(\frac{x_4 + x_{3}}{2})\Delta x + ....$

⇒A = $f(\frac{1 + 0}{2})\Delta x + f(\frac{2 + 1}{2})\Delta x + f(\frac{3 + 2}{2})\Delta x + f(\frac{4 + 3}{2})\Delta x + ...$

⇒A = $f(0.5)\Delta x + f(1.5)\Delta x + f(2.5)\Delta x + f(3.5)\Delta x + f(4.5)\Delta x + f(5.5)\Delta x$

⇒A = + $(f(0.5) + f(1.5)+ f(2.5) + f(3.5) + f(4.5) + f(5.5))\Delta x$

⇒A = $(0.5 + 1.5 + 2.5 + 3.5 + 4.5 + 5.5)\Delta x$

⇒ A = 18

Pregunta 4: Encuentra el valor de la integral definida f(x) = $\int^{5}_{0}sin(x)dx$

Solución:

f(x) = $\int^{5}_{0}sin(x)dx$

⇒f(x) = $[-cos(x)]^{5}_{0}$

⇒f(x) = $[cos(x)]^{0}_{5}$

⇒f(x) = 1 – cos(5)

Pregunta 5: Encuentra el valor de la integral definida f(x) = $\int^{1}_{0}sec^2(x) + cos(x) dx$

Solución:

f(x) = $\int^{1}_{0}sec^2(x) + cos(x) dx$

⇒f(x) = $\int^{1}_{0}sec^2(x) + \int^{1}_{0}cos(x) dx$

⇒f(x) = $[tan(x)]^{1}_{0} + [sin(x)]^1_0$

⇒f(x) = tan(1) – tan(0) + sin(1) – sin(0)

⇒f(x) = tan(1) + sin(1)

Pregunta 6: Encuentra el valor de la suma de Riemann para n = 3 para la función f(x) = log(x) entre x = 1 y x = 4.

Solución:

Dividiendo el intervalo en cuatro partes iguales que es n = 3. El ancho de cada intervalo será,

$\Delta x = \frac{4 - 1}{n} = \frac{4 - 1}{3} = 1$

El valor de la función en cada intervalo será el valor de la función en el punto medio del intervalo.

$A = \sum^{n}_{i = 1}f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{x_1 + x_{0}}{2})\Delta x + f(\frac{x_2 + x_{1}}{2})\Delta x + f(\frac{x_3 + x_{2}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{1 + 2}{2})\Delta x + f(\frac{2 + 3}{2})\Delta x + f(\frac{3 + 4}{2})\Delta x$

⇒A = $f(1.5)\Delta x + f(2.5)\Delta x + f(3.5)\Delta x$

⇒A = $(f(1.5)+ f(2.5) + f(3.5))\Delta x$

⇒A = $(log(1.5) + log(2.5) + log(3.5))\Delta x$

⇒A = (0,17 + 0,39 + 0,54)

⇒ A = 0,56 + 0,54

⇒ A = 1.1

Pregunta 7: Encuentra el valor de la suma de Riemann para n = 2 para la función f(x) = e ^x entre x = 0 y x = 4.

Solución:

Dividiendo el intervalo en cuatro partes iguales que es n = 2. El ancho de cada intervalo será,

$\Delta x = \frac{4 - 0}{n} = \frac{4 - 0}{2} = 2$

El valor de la función en cada intervalo será el valor de la función en el punto medio del intervalo.

$A = \sum^{n}_{i = 1}f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{x_1 + x_{0}}{2})\Delta x + f(\frac{x_2 + x_{1}}{2})\Delta x$

⇒A = $f(\frac{0 + 2}{2})\Delta x + f(\frac{2 + 4}{2})\Delta x$

⇒A = $f(1)\Delta x + f(3)\Delta x$

⇒A = $(f(1)+ f(3))\Delta x$

⇒A = $(e^1 + e^3)\Delta x$

⇒A = (2.7 + 20)2

⇒A = (22.7)(2)

⇒ A = 45,4