Integrales indefinidas – Barcelona Geeks

Los derivados han sido realmente útiles en casi todos los aspectos de la vida. Permiten encontrar la tasa de cambio de una función. A veces hay situaciones en las que está disponible la derivada de una función y el objetivo es calcular la función real cuya derivada se da. En estos casos, las integrales entran en juego. Intuitivamente son el reverso del proceso de diferenciación. Las integrales también tienen muchas aplicaciones en el cálculo y en la vida real. Son útiles para analizar funciones, calcular el área y los volúmenes de diferentes formas arbitrarias.

Introducción a las Integrales

Las integrales también se conocen como antiderivadas. La integración es el proceso inverso de la diferenciación. En lugar de diferenciar una función, se nos da la derivada de una función y se requiere que calculemos la función a partir de la derivada. Este proceso se llama integración o anti-diferenciación. Considere una función f(x) = sin(x), la derivada de esta función si f'(x) = cos(x). Entonces, la integración de f'(x) debería devolver la función f(x). Observe que para cada función f(x) = sen (x) + C, la derivada es la misma porque la constante se convierte en cero después de la diferenciación. Por lo tanto, las antiderivadas no son únicas, para cada función, sus antiderivadas son infinitas.

$\frac{d}{dx}(sin(x) + C) = cos(x)$

Esta constante C se llama constante arbitraria.

Se utiliza un nuevo símbolo para denotar integrales $\int$ . Esto representará la operación de integración sobre cualquier función. La siguiente tabla representa los símbolos y significados relacionados con las integrales.

Hay ciertas fórmulas y reglas que cuando se tienen en cuenta nos ayudan a simplificar el cálculo y hacerlo rápido. La regla de la potencia inversa es una de las reglas que nos ayudan en la integración de polinomios y otras funciones.

Regla de potencia inversa

Esta regla ayuda a integrar las funciones que tienen términos de la forma x ⁿ .

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

Aquí, C es la constante arbitraria y n ≠ 1.

En esta regla, el exponente de la variable se incrementa en 1 y luego el resultado se divide por el nuevo valor del exponente. La siguiente tabla proporciona integrales de algunas funciones estándar.

Función	Integral
pecado(x)	-cos(x)
porque(x)	pecado(x)
e ^x	e ^x
segundo ² (x)	bronceado(x)
$\frac{1}{x}$	en(x)

Reescribiendo las Integrales

A veces, cuando las funciones se vuelven demasiado complejas, se vuelve difícil integrarlas. Hay ciertas propiedades de las integrales que ayudan a simplificar y reescribir las integrales.

Propiedad 1: $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$

Propiedad 2: $\int(f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

Propiedad 3: $\int(k_1f_1(x) \pm k_2f_2(x) \pm ....)dx = k_1\int f_1(x)dx \pm k_2\int f_2(x)dx ....$

Interpretación Visual de Integrales

Aparte de las reglas algebraicas habituales de cálculo de las integrales. Las integrales se pueden entender a través de gráficos. Está claro que las integrales no son más que antiderivadas. Considere una función f(x), y digamos que es antiderivada si está dada por F(x). En ese caso, F'(x) = f(x). Considere la siguiente gráfica como la gráfica de la función f(x), significa que se da la gráfica de las derivadas de la función F(x) y el objetivo es determinar la función integral F(x).

La gráfica muestra la función f(x) = 2x, es una línea recta que pasa por el origen. Integramos la función dada usando la regla de potencia inversa mencionada anteriormente.

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$\int 2xdx = 2\frac{x^{2}}{2} + C$

⇒ $\int 2xdx = x^{2} + C$

Ahora, cuando este C = 0, la ecuación de la integral se convierte en F(x) = x ² , que es una parábola centrada en el origen. Cuando C = 1, la parábola se desplaza hacia arriba una unidad y, de manera similar, cuando C = -1, la parábola se desplaza hacia abajo una unidad.

Esto significa que la función F(x) = x ² + C representa una familia de curvas.

Determinación de integrales por gráficos

Las integrales se pueden determinar aproximadamente mediante los gráficos. Los integrandos no son más que las derivadas de las integrales. Dan información sobre la tasa de aumento/disminución y los máximos y mínimos de las integrales. Consideremos la gráfica de una función f(x),

Suponiendo que F(x) = $\int f(x)dx$

Dado que la derivada de la función es positiva y creciente, la función aumentará a una tasa creciente, la gráfica de la función F(x) se verá aproximadamente como una parábola que se eleva hacia arriba. La siguiente figura da una idea aproximada de la gráfica de la función F(x).

Veamos algunos ejemplos de problemas.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra la integral para la función dada f(x),

f(x) = sen(x) + 1

Solución:

Dado f(x) = sen(x) + 1

sin(x) es una función estándar y se conoce su antiderivada.

$\int f(x)dx$

⇒ $\int (sin(x) + 1)dx$

Usando la propiedad 2 mencionada anteriormente,

$\int sin(x)dx + \int 1dx$

⇒ $-cos(x) + x + C$

Pregunta 2: Encuentra la integral para la función dada f(x),

f(x) = ^2ex

Solución:

Dado f(x) = 2e ^x

e ^x es una función estándar y se conoce su antiderivada.

$\int f(x)dx$

⇒ $\int 2e^xdx$

Usando la propiedad 1 mencionada anteriormente,

$2\int e^xdx$

⇒2e ^x + C

Pregunta 3: Encuentra la integral para la función dada f(x),

f(x) = 5x ^-2

Solución:

Dado f(x) = 5x ^-2

Usando la regla de la potencia inversa

$\int f(x)dx$

⇒ $\int 5x^{-2}dx$

Usando la propiedad 1 mencionada anteriormente,

$5\int x^{-2}dx$

⇒ $\frac{-5}{x} + C$

Pregunta 4: Encuentra la integral para la función dada f(x),

f(x) = sen(x) + 5cos(x)

Solución:

Dado f(x) = sen(x) + 5cos(x)

sin(x) y cos(x) son funciones estándar y se conoce su integral.

$\int f(x)dx$

⇒ $\int (sin(x) + 5cos(x))dx$

Usando las propiedades 1 y 2 mencionadas anteriormente,

$\int sin(x)dx + 5\int cos(x)dx$

⇒ $-cos(x) + 5sin(x) + C$

Pregunta 5: Encuentra la integral para la función dada f(x),

f(x) = 5x ^-2 + x4 ⁺ x

Solución:

Dado f(x) = 5x ^-2 + x ⁴ + x

Usando la regla de la potencia inversa

$\int f(x)dx$

⇒ $\int (5x{-2} + x^4 + x)dx$

Usando las propiedades 1 y 2 y la regla de la potencia mencionada anteriormente,

$\int (5x{-2} + x^4 + x)dx$

⇒ $5\int x^{-2}dx + \int x^4dx + \int xdx$

⇒ $\frac{-5}{x} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^2}{2}$

Pregunta 6: Para el gráfico de función que se muestra a continuación, dibuje un gráfico aproximado de la integral.

Solución:

La gráfica dada es constante, que y = 5.

Ya que esta gráfica es la gráfica de la derivada de su integral. Esto significa que la gráfica de la integral crece constantemente. Debe ser una recta con pendiente positiva.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Símbolo/Término/Significado	Sentido
$\int f(x)dx$	Integral de f con respecto a x
f(x) en $\int f(x)dx$	integrando
x en $\int f(x)dx$	Variable de integración
Integral de f(x)	Una función tal que F'(x) = f(x)

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