Introducción a los límites

En matemáticas, un límite se define como un valor que se aproxima a la salida de los valores de entrada dados por una función. En cálculo y análisis matemático, el límite es importante y se usa para describir integrales, derivadas y continuidad. Se utiliza en el proceso de investigación y, a menudo, se relaciona con el comportamiento de la función. Supongamos que usted y sus amigos deciden encontrarse afuera en algún lugar. ¿Tienes que hacer que todos tus amigos vivan en el mismo lugar y caminen de la misma manera a este sitio? No, no solo de vez en cuando. Todos tus amigos vienen a reunirse en un solo lugar desde varias partes de la ciudad o del mundo. Supongamos que tenemos una función f(x). El valor, una función, llega con la variable x alcanzando un valor dado, lo que significa que la variable an se conoce como su límite. Aquí, ‘a es un valor inicial. esta etiquetado como

límite _{x ⇢ a} f(x) = 1 

El valor predicho de la función indicado por el punto ‘a’ a la izquierda es el límite izquierdo de esta función. Se llama 

límite _{x ⇢ -a} f(x) = 1

El valor predicho de la función indicado por el punto ‘a’ a la derecha es el límite derecho de esta función. Se llama 

límite _{x ⇢ +a} f(x) = 1

Definición de límites

Consideremos una función de valor real «f» y el número real «c», el límite normalmente se define como

límite _{x ⇢ p} f(x) = 1

Se lee como “el límite de f de x, cuando x tiende a p es igual a L”. El “lím” muestra el límite, y el hecho de que la función f(x) se acerque al límite L cuando x se acerque a p se describe con la flecha hacia la derecha.

Propiedades de los límites

• lim _{x ⇢ a}  k = k, donde k es una cantidad constante
• El valor de lím _{x ⇢ a} x = a
• Valor de lím _{x ⇢ a} bx + c = ba + c
• lím _{x ⇢ a} x ⁿ = a ⁿ si n es un entero positivo.
• Valor de lím _{x ⇢ +0} 1/x ^r  = +∞  
• lim _{x ⇢ −0} 1/x ^r  = −∞, si r es impar
• lim _{x ⇢ −0} 1/x ^r  = +∞, si r es par

Álgebra del límite

Sean m y n dos funciones tales que sus límites 

lím _{x ⇢ a} m(x) y lím _{x ⇢ a} n(x) existe.

• El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites de las funciones.

lím _{x ⇢ a} [m(x) + n(x)] = lím _{x ⇢ a} m(x) + lím _{x ⇢ a} n(x)       

• El límite de la diferencia de dos funciones es la diferencia entre los límites de las funciones.

lím _{x ⇢ a} [m(x) – n(x)] = lím _{x ⇢ a} m(x) – lím _{x ⇢ a} n(x)       

• El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites de las funciones.  

lím _{x ⇢ un} [m(x) × n(x)] = lím _{x ⇢ un} m(x) × lím _{x ⇢ un} n(x)       

• El límite del cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las funciones.

lím _{x ⇢ a} [m(x) ÷ n(x)] = lím _{x ⇢ a} m(x) ÷ lím _{x ⇢ a} n(x)      

• El límite de producto de una función m(x) con una constante, n(x) = α es α por el límite de m(x).    

lím _{x ⇢ a} [α.m(x)] = α.lím _{x ⇢ a} m(x)   

Límite de la función polinomial

Considere una función polinomial, f(x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + … + a _n x ⁿ . Aquí, a ₀ , a ₁ , … , _an son todas constantes. En cualquier punto x = a, el límite de esta función polinomial es

límite _{x ⇢ un} f(x) = límite _{x ⇢ un} [un ₀ + un ₁ x + un ₂ x ² + . . . + a _n x ⁿ ] = lím _{x ⇢ a} a ₀ + a ₁ lím _{x ⇢ a} x + a ₂ lím _{x ⇢ a} x ² + . . . + a _n límite _{x ⇢ a} x ⁿ

o,

límite _{x ⇢ un}  un ₀ + un ₁ x + un ₂ x ² + . . . + un norte x ^norte = f (a ₎

Límite de la función racional

El límite de cualquier función racional del tipo m(x)/n(x), donde n(x) ≠ 0 y m(x) y n(x) son funciones polinómicas, es:

lím _{x ⇢ a} [m(x)/n(x)] = lím _{x ⇢ a} m(x)/lím _{x ⇢ a} n(x) = m(a)/m(b)          

El primer paso para encontrar el límite de una función racional es verificar si se reduce a la forma 0/0 en algún punto. Si es así, entonces necesitamos hacer algunos ajustes para que uno pueda calcular el valor del límite. Esto se puede hacer cancelando el factor que hace que el límite sea de la forma 0/0. Suponga una función, f(x) = (x ² + 4x + 4)/(x ² − 4) . Tomando límite sobre ella para x = −2, la función es de la forma 0/0,

límite _{x ⇢ -2} f(x) = límite _{x ⇢ 0} [(x ² + 4x + 4)]

= límite _{x ⇢ -2} [( x + 2) ² /(x – 2)( x – 2)]

= límite _{x ⇢ -2} [(x – 2)/(x – 2)]

= 0/-3 ( ≠ 0/0 ) = 0

Aplicando la L – Regla del Hospital

Derivando tanto el numerador como el denominador de la función racional hasta que el valor del límite no sea de la forma 0/0. Suponga una función, f(x) = sen x/x. Tomando límite sobre ella para x = 0, la función es de la forma 0/0. Tomando la diferenciación de sen x y x con respecto a x en el límite, lím _{x ⇢ 0} sen x/x se reduce a lím _{x ⇢ 0} cos x/1 = 1.(cos 0 = 1)

Ejemplos resueltos 

Pregunta 1: lím _{x ⇢ 6} x/3 

Solución:

Esto se puede hacer fácilmente usando el método de sustitución lím _{x ⇢ 6} x/3 = 6/3 = 2

Pregunta 2: lím _{x ⇢ 2} x ² – 4/x ² – 2

Solución:

x ² – 4 puede factorizarse en (x ² – 2 ² ) = ( x – 2 )( x – 2 ) 

= límite _{x ⇢ 2} x ² – 4/x ² – 2 

= lím _{x ⇢ 2} (x- 2)(x – 2)/x – 2 = lím _{x ⇢ 2} x + 2/1

= 4/1

= 4
 

Pregunta 3: lím _{x ⇢ 1/2} 2x – 1/4x ² – 1

Solución:

4x ² – 1 se puede factorizar en a (2x ² ) – (1 ² ) = (2x + 1) (2x – 1) 

Después,

= límite _{x ⇢ 1/2}   2x – 1/4x ² – 1

= lím _{x ⇢ 1/2}   2x- 1/(2x – 1) (2x + 1)

= límite _{x ⇢ 1/ 2} 1/(2x + 1)

= 1/2 × (1/2) + 1

= 1/2