ley de las tangentes – Barcelona Geeks

La trigonometría es un campo de las matemáticas que determina los ángulos y las longitudes desconocidas de los lados de un triángulo usando razones trigonométricas. Hay seis razones trigonométricas: sen, cos, tan, cosec, sec y cot. Cada relación muestra un valor específico para un valor específico del ángulo. Los ángulos se pueden expresar en radianes o en grados.

Ley de las tangentes

La ley de las tangentes es una ley trigonométrica que describe la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. La regla de la tangente describe el vínculo entre la suma y la diferencia de los lados y ángulos de un triángulo. La regla de la tangente se puede aplicar a cualquier triángulo con dos lados y un ángulo o un lado y dos ángulos para determinar las partes restantes. La ley de las tangentes, al igual que las leyes del seno y del coseno, tiene una amplia gama de aplicaciones en matemáticas. La ley de las tangentes para un triángulo con ángulos A, B y C opuestos a los lados a, b y c es la siguiente:

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$

En palabras simples, la regla de la tangente establece que la razón de la diferencia a la suma de dos lados dados de un triángulo rectángulo es la misma que la razón de la tangente de la mitad de la diferencia a la tangente de la mitad de la suma de esos lados.

Prueba

Sea ABC un triángulo rectángulo con lados opuestos a ∠A, ∠B, ∠C de longitud a, b y c respectivamente. Entonces, usando la ley de los senos, tenemos:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Dejar, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=k$

⇒ a = ksen A y b = ksenB

Así, a – b = k (sin A – sin B) y a + b = k (sin A + sin B)

⇒ $\frac{a - b}{a + b} = \frac{sin A - sin B}{sin A + sin B}$ ….(1)

Ya que, senA – senB = $2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}$ y senA + senB = $2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$

Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación (1), tenemos:

$\frac{a - b}{a + b} = \frac{2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}}{2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}$

⇒ $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$

Por lo tanto probado.

Problemas de muestra

Problema 1. En el triángulo ABC, a = 10, b = 7 y ∠C = 80°. Encuentre el valor de A – B.

Solución:

La propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo establece que ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Ya que se da que ∠C = 80°.

⇒∠A + ∠B= 180°- ∠C = 180° – 96° = 84°

Según la ley de las tangentes, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}.$

Asi que, $\frac{10-7}{10+7}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{84\degree}{2}]}$

⇒ $\frac{3}{17}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[84\degree]}$

⇒ $tan\frac{1}{2}(A-B)=\frac{3}{17}tan42\degree=0.40436$

⇒ $\frac{1}{2}(A-B)=22.01°$

⇒ A – B = 44,02°.

Problema 2. En el triángulo ABC, a = 5, b = 3 y ∠C = 96°. Encuentre el valor de A – B.

Solución:

La propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo establece que ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Ya que se da que ∠C = 80°.

⇒∠A + ∠B= 180°- ∠C = 180° – 96° = 84°

Según la ley de las tangentes, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$ .

Asi que, $\frac{5-3}{5+3}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{84\degree}{2}]}\\⇒ \frac{2}{8}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[84\degree]}\\⇒ tan\frac{1}{2}(A-B)=\frac{2}{8}tan42\degree=0.2251\\⇒ \frac{1}{2}(A-B)=12.7°$

⇒ A – B = 25,40°.

Problema 3. En el triángulo ABC, a = 9, b = 3 y ∠C = 96°. Encuentre el valor de A – B.

Solución:

La propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo establece que ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Ya que se da que ∠C = 80°.

⇒∠A + ∠B= 180°- ∠C = 180° – 96° = 84°

Según la ley de las tangentes, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$ .

Asi que, $\frac{9-3}{9+3}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{84\degree}{2}]}\\⇒ \frac{6}{12}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[84\degree]}\\⇒ tan\frac{1}{2}(A-B)=\frac{1}{2}tan42\degree=0.4502\\⇒ \frac{1}{2}(A-B)=24.23°$

⇒ A – B = 48,46°.

Problema 4. En el triángulo ABC, a = 8, b = 4 y ∠C = 80°. Encuentre el valor de A – B.

Solución:

La propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo establece que ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Ya que se da que ∠C = 80°.

⇒∠A + ∠B= 180°- ∠C = 180° – 80° = 100°

Según la ley de las tangentes, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$ .

Asi que, $\frac{8-4}{8+4}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{100\degree}{2}]}\\⇒ \frac{4}{12}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[50\degree]}\\⇒ tan\frac{1}{2}(A-B)=\frac{1}{3}tan42\degree=0.3972\\⇒ \frac{1}{2}(A-B)=21.66°$

⇒ A – B = 43,32°.

Problema 5. En el triángulo ABC, a = 6, b = 2 y ∠C = 80°. Encuentre el valor de A – B.

Solución:

La propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo establece que ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Ya que se da que ∠C = 80°.

⇒∠A + ∠B= 180°- ∠C = 180° – 80° = 100°

Según la ley de las tangentes, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$ .

Asi que, $\frac{6-2}{6+2}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{100\degree}{2}]}\\⇒ \frac{4}{12}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[50\degree]}\\⇒ tan\frac{1}{2}(A-B)=\frac{1}{3}tan42\degree=0.3972\\⇒ \frac{1}{2}(A-B)=12.66°$

⇒ A – B = 25,32°.

Problema 6. En el triángulo ABC, a = 9, b = 3 y ∠C = 70°. Encuentre el valor de A – B.

Solución:

La propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo establece que ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Ya que se da que ∠C = 70°.

⇒∠A + ∠B= 180°- ∠C = 180° – 70° = 110°

Según la ley de las tangentes, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$ .

Asi que, $\frac{9-3}{9+3}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{110\degree}{2}]}$

⇒ $\frac{6}{12}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[110\degree]}$

⇒ A – B = 19,02°.

Problema 7. En el triángulo ABC, a = 10, b = 5 y ∠C = 96°. Encuentre el valor de A – B.

Solución:

La propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo establece que ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Ya que se da que ∠C = 80°.

⇒∠A + ∠B= 180°- ∠C = 180° – 96° = 84°

Según la ley de las tangentes, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}.$

Asi que, $\frac{10-5}{10+5}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{84\degree}{2}]}$

⇒ $\frac{5}{15}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[84\degree]}$

⇒ $tan\frac{1}{2}(A-B)=\frac{3}{17}tan42\degree=0.40436$

⇒ A – B = 69,42°.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por parmarraman44 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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