Leyes de los logaritmos

El logaritmo es el exponente o potencia a la que se eleva una base para obtener un número determinado. Por ejemplo, ‘a’ es el logaritmo de ‘m’ en base a ‘x’ si x ^m = a, entonces podemos escribirlo como m = log _x a. Los logaritmos se inventan para acelerar los cálculos y el tiempo se reducirá cuando estemos multiplicando muchos dígitos usando logaritmos. Ahora, analicemos las leyes de los logaritmos a continuación.

Leyes de los logaritmos

Hay tres leyes de los logaritmos que se derivan usando las reglas básicas de los exponentes. Las leyes son la ley de la regla del producto, la ley de la regla del cociente, la ley de la regla de la potencia. Echemos un vistazo a las leyes en detalle.

Primera ley del logaritmo o ley de la regla del producto

Sean a = x ⁿ y b = x ^m donde la base x debe ser mayor que cero y x no es igual a cero. es decir, x > 0 y x ≠ 0. A partir de esto podemos escribirlos como

n = log _x a y m = log _x b ⇢ (1)

Usando la primera ley de los exponentes sabemos que x ⁿ × x ^m = x ^{n + m} ⇢ (2)

Ahora multiplicamos a y b lo obtenemos como,

ab = x ^norte × x ^metro

ab = x ^{n + m} (De la ecuación 2)

Ahora aplique el logaritmo a la ecuación anterior que obtenemos a continuación,

logaritmo _x ab = n + m

De la ecuación 1 podemos escribir como log _x ab = log _x a + log _x b

Entonces, si queremos multiplicar dos números y encontrar el logaritmo del producto, sumamos los logaritmos individuales de los dos números. Esta es la primera ley de los Logaritmos/ Ley de la Regla del Producto.

log _x ab = log _x a + log _x b

Podemos aplicar esta ley para más de dos números, es decir,

log _x abc = log _x a + log _x b + log _x c.

Segunda Ley del logaritmo o Ley de la Regla del Cociente

Sean a = x ⁿ y b = x ^m donde la base x debe ser mayor que cero y x no es igual a cero. es decir, x > 0 y x ≠ 0. A partir de esto podemos escribirlos como,

n = log _x a y m = log _x b ⇢ (1)

Usando la primera ley de los exponentes sabemos que x ⁿ / x ^m = x ^{n – m} ⇢ (2)

Ahora multiplicamos a y b lo obtenemos como,

a/b = x ^norte / x ^metro

a/b = x ^{n – m} ⇢ (De la ecuación 2)

Ahora aplique el logaritmo a la ecuación anterior que obtenemos a continuación,

log _x (a/b) = n – m

De la ecuación 1 podemos escribir como log _x (a/b) = log _x a – log _x b

Entonces, si queremos dividir dos números y encontrar el logaritmo de la división, entonces podemos restar los logaritmos individuales de los dos números. Esta es la segunda ley de los logaritmos/ley de la regla del cociente.

log _x (a/b) = log _x a – log _x b

Tercera Ley del logaritmo o ley de la Regla de la Potencia

Sea a = x ⁿ ⇢ (i),    

Donde la base x debe ser mayor que cero y x no es igual a cero. es decir, x > 0 y x ≠ 0. A partir de esto podemos escribirlos como,

n = log _x a ⇢ (1)

Si elevamos ambos lados de la ecuación (i) con la potencia de ‘m’ entonces lo obtenemos de la siguiente manera,

un ^metro = (x ^norte ) ^metro = x ^nm

Sea a ^m una sola cantidad y aplique el logaritmo a la ecuación anterior, entonces,

log _x a ^m = nm

log _x a ^m = m.log _x a

Esta es la tercera ley de los logaritmos. Establece que el logaritmo de un número de potencia se puede obtener multiplicando el logaritmo del número por ese número.

Problemas de muestra

Problema 1: Expanda el registro 21.

Solución: 

Como sabemos que log _x ab = log _x a + log _x b (De la primera ley del logaritmo)

Entonces, log 21 = log (3 × 7) 

= registro 3 + registro 7

Problema 2: Ampliar registro (125/64).

Solución: 

Como sabemos que log _x( a/b) = log _x a – log _x b (De la segunda ley del logaritmo)

Entonces, log (125/64) = log 125 – log 64

= registro 5 ³ – registro 4 ³

log _x a ^m = m.log _x a (De la tercera ley del logaritmo), podemos escribirlo como,

= 3 log 5 – 3 log 4

= 3(registro 5 – registro 4)

Problema 3: Escriba 3log 2 + 5 log3 – 5log 2 como un solo logaritmo.

Solución: 

3log 2 + 5 log3 – 5log 2

= registro 2 ³ + registro 3 ⁵ – registro 2 ⁵

= registro 8 + registro 243 – registro 32

= logaritmo(8 × 243) – logaritmo 32

= registro 1944 – registro 32

= registro (1944/32)

Problema 4: Escriba log 16 – log 2 como un solo logaritmo.

Solución: 

registro (16/2)

= registro(8)

= registro(2 ³ )

= 3 registro 2

Problema 5: escribe 3 log 4 como un solo logaritmo

Solución: 

A partir de la ley de la regla de potencias, podemos escribirla como,

= logaritmo 4 ³

= registro 64

Problema 6: Escriba 2 log 3- 3 log 2 como un solo logaritmo

Solución: 

registro 3 ² – registro 2 ³ 

= registro 9 – registro 8 

= registro (9/8)

Problema 7: Escriba log 243 + log 1 como un solo logaritmo

Solución: 

registro (243 × 1) 

= registro 243